Precalcolo Esempi

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y - 32 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $32$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y = 32$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $3 x^{2} + 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 3$

$b = 12$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (3)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{6}{3}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$d = \frac{3 \cdot 2}{3}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$d = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$e = 0 - \frac{144}{12}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $144$ per $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 12$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$e = 0 - 12$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $12$ da $0$ .

$e = - 12$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $3 {(x + 2)}^{2} - 12$ .

$3 {(x + 2)}^{2} - 12$

Passaggio 1.3

Sostituisci $3 x^{2} + 12 x$ con $3 {(x + 2)}^{2} - 12$ nell'equazione $3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y = 32$ .

$3 {(x + 2)}^{2} - 12 + 4 y^{2} - 16 y = 32$

Passaggio 1.4

Sposta $- 12$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $12$ a entrambi i lati.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 16 y = 32 + 12$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $4 y^{2} - 16 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $256$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$e = 0 - 16$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$e = - 16$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(y - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(y - 2)}^{2} - 16$

Passaggio 1.6

Sostituisci $4 y^{2} - 16 y$ con $4 {(y - 2)}^{2} - 16$ nell'equazione $3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y = 32$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} - 16 = 32 + 12$

Passaggio 1.7

Sposta $- 16$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $16$ a entrambi i lati.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 32 + 12 + 16$

Passaggio 1.8

Semplifica $32 + 12 + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $32$ e $12$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 44 + 16$

Passaggio 1.8.2

Somma $44$ e $16$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 60$

Passaggio 1.9

Dividi per $60$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{3 {(x + 2)}^{2}}{60} + \frac{4 {(y - 2)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{20} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{15} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = \sqrt{15}$

$k = 2$

$h = - 2$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 2, 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{4 \cdot 5 - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\sqrt{20 - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{20 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{20 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{20 - 15^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{20 - 15^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{20 - 15^{1}}$

Passaggio 5.3.4.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{20 - 1 \cdot 15}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$\sqrt{20 - 15}$

Passaggio 5.3.5.2

Sottrai $15$ da $20$ .

$\sqrt{5}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- 2 + 2 \sqrt{5}, 2)$

Passaggio 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- 2 - (2 \sqrt{5}), 2)$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$(- 2 - 2 \sqrt{5}, 2)$

Passaggio 6.6

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(- 2 + 2 \sqrt{5}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 - 2 \sqrt{5}, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 2 + 2 \sqrt{5}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 - 2 \sqrt{5}, 2)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(- 2 + \sqrt{5}, 2)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(- 2 - (\sqrt{5}), 2)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(- 2 - \sqrt{5}, 2)$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{5}, 2)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{1} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5 - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{20 - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{20 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{20 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{20 - 15^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{20 - 15^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{20 - 15^{1}}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{20 - 1 \cdot 15}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$\frac{\sqrt{20 - 15}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.7

Sottrai $15$ da $20$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $\sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(- 2, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 2 + 2 \sqrt{5}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 - 2 \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{5}, 2)$

Eccentricità: $\frac{1}{2}$

Passaggio 10