Precalcolo Esempi

$25 x^{2} + 16 y^{2} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{25}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{16}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{4^{2}} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{4^{2}} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

Passaggio 5.3.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{5^{2}}}$

Passaggio 5.3.6

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{25}}$

Passaggio 5.3.7

Per scrivere $\frac{1}{16}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

Passaggio 5.3.8

Per scrivere $- \frac{1}{25}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Passaggio 5.3.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $400$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{25}{16 \cdot 25} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Passaggio 5.3.9.2

Moltiplica $16$ per $25$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Passaggio 5.3.9.3

Moltiplica $\frac{1}{25}$ per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{16}{25 \cdot 16}}$

Passaggio 5.3.9.4

Moltiplica $25$ per $16$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{16}{400}}$

Passaggio 5.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{25 - 16}{400}}$

Passaggio 5.3.11

Sottrai $16$ da $25$ .

$\sqrt{\frac{9}{400}}$

Passaggio 5.3.12

Riscrivi $\sqrt{\frac{9}{400}}$ come $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}}$ .

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}}$

Passaggio 5.3.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.13.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{400}}$

Passaggio 5.3.13.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3}{\sqrt{400}}$

Passaggio 5.3.14

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.14.1

Riscrivi $400$ come $20^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{20^{2}}}$

Passaggio 5.3.14.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3}{20}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + \frac{1}{4})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(0, \frac{1}{4})$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (\frac{1}{4}))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(0, - \frac{1}{4})$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{4})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{4})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{4})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{4})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + \frac{3}{20})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(0, \frac{3}{20})$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (\frac{3}{20}))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(0, - \frac{3}{20})$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{3}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{3}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{3}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{3}{20})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{4^{2}} - {(\frac{1}{5})}^{2}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{4^{2}} - {(\frac{1}{5})}^{2}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - {(\frac{1}{5})}^{2}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1^{2}}{5^{2}}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{5^{2}}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.7

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{25}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.8

Per scrivere $\frac{1}{16}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{25}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.9

Per scrivere $- \frac{1}{25}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $400$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{25}{16 \cdot 25} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.10.2

Moltiplica $16$ per $25$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.10.3

Moltiplica $\frac{1}{25}$ per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{16}{25 \cdot 16}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.10.4

Moltiplica $25$ per $16$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{16}{400}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{25 - 16}{400}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.12

Sottrai $16$ da $25$ .

$\sqrt{\frac{9}{400}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.13

Riscrivi $\sqrt{\frac{9}{400}}$ come $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}}$ .

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.14.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{400}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.14.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3}{\sqrt{400}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.15

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.15.1

Riscrivi $400$ come $20^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{20^{2}}} \cdot 4$

Passaggio 8.3.15.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3}{20} \cdot 4$

Passaggio 8.3.16

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.16.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$\frac{3}{4 (5)} \cdot 4$

Passaggio 8.3.16.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4 \cdot 5} \cdot 4$

Passaggio 8.3.16.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{5}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{4})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{4})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{3}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{3}{20})$

Eccentricità: $\frac{3}{5}$

Passaggio 10