Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 4$

Passaggio 1

Scomponi $2 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 0.5$ nel polinomio.

$2 {(- 0.5)}^{3} + 7 {(- 0.5)}^{2} - 5 \cdot - 0.5 - 4$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot - 0.125 + 7 {(- 0.5)}^{2} - 5 \cdot - 0.5 - 4$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 0.125$ .

$- 0.25 + 7 {(- 0.5)}^{2} - 5 \cdot - 0.5 - 4$

Passaggio 1.3.4

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $2$ .

$- 0.25 + 7 \cdot 0.25 - 5 \cdot - 0.5 - 4$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $7$ per $0.25$ .

$- 0.25 + 1.75 - 5 \cdot - 0.5 - 4$

Passaggio 1.3.6

Somma $- 0.25$ e $1.75$ .

$1.5 - 5 \cdot - 0.5 - 4$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 5$ per $- 0.5$ .

$1.5 + 2.5 - 4$

Passaggio 1.3.8

Somma $1.5$ e $2.5$ .

$4 - 4$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 4}{2 x + 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $2 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 4$ per $2 x + 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$4$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{2} + 3 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$8 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$8 x$	-	$4$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$8 x$	-	$4$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	-	$4$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x - 4$

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 3 x - 4$

Passaggio 1.6

Scrivi $2 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 4$ come insieme di fattori.

$f (x) = (2 x + 1) (x^{2} + 3 x - 4)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} + 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2} + 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4$

Passaggio 2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f (x) = (2 x + 1) ((x - 1) (x + 4))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = (2 x + 1) (x - 1) (x + 4)$