Precalcolo Esempi

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = x \sqrt{1 - x^{2}}$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Passaggio 1.2.2

Imposta $1 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Imposta $1 + x$ uguale a $0$ .

$1 + x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.3

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 1.2.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 1.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 1.2.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 1.2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.1.3

Il lato sinistro di $- 15$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.2.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 1.2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.3.3

Il lato sinistro di $- 15$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

Passaggio 1.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 \leq x \leq 1$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 1, 1]$

Notazione intensiva:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Notazione degli intervalli:

$[- 1, 1]$

Notazione intensiva:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Passaggio 2

Per trovare i punti finali, sostituisci i limiti dei valori $x$ nel dominio in $f (x) = x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 - (- 1))}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 + 1)}$

Passaggio 2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $0$ per $2$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0}$

Passaggio 2.2.6

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica per zero.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 1) = - 1 \cdot 0$

Passaggio 2.2.7.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Passaggio 2.4

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$ per $1$ .

$f (1) = \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Passaggio 2.4.3

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (1 - (1))}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (1 - 1)}$

Passaggio 2.4.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (1) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.7

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (1) = 0$

Passaggio 2.4.9

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3

I punti finali sono $(- 1, 0), (1, 0)$ .

$(- 1, 0), (1, 0)$

Passaggio 4

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(- 1, 0), (1, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Passaggio 5