Precalcolo Esempi

$y = 2 \cos (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 2$

$b = 1$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $2$

Passaggio 3

Trova il periodo di $2 \cos (x - \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{\frac{π}{3}}{1}$

Passaggio 4.3

Dividi $\frac{π}{3}$ per $1$ .

Sfasamento: $\frac{π}{3}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $2$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: $\frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ a destra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π - π}{3})$

Passaggio 6.1.2.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{0}{3})$

Passaggio 6.1.2.3

Dividi $0$ per $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (0)$

Passaggio 6.1.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2$

Passaggio 6.1.2.6

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos ((\frac{5 π}{6}) - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Per scrivere $- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 6.2.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

Passaggio 6.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{6})$

Passaggio 6.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π - 2 π}{6})$

Passaggio 6.2.2.4.2

Sottrai $2 π$ da $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{6})$

Passaggio 6.2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (π)}{6})$

Passaggio 6.2.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot 0$

Passaggio 6.2.2.7

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0$

Passaggio 6.2.2.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{4 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos ((\frac{4 π}{3}) - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{4 π - π}{3})$

Passaggio 6.3.2.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Passaggio 6.3.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Passaggio 6.3.2.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (π)$

Passaggio 6.3.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \cos (0))$

Passaggio 6.3.2.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.3.2.6

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2$

Passaggio 6.3.2.7

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{11 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{11 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos ((\frac{11 π}{6}) - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Per scrivere $- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 6.4.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.4.2.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

Passaggio 6.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π - π \cdot 2}{6})$

Passaggio 6.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π - 2 π}{6})$

Passaggio 6.4.2.4.2

Sottrai $2 π$ da $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{9 π}{6})$

Passaggio 6.4.2.5

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.5.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

Passaggio 6.4.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Passaggio 6.4.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.4.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cdot 0$

Passaggio 6.4.2.8

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 0$

Passaggio 6.4.2.9

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{7 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos ((\frac{7 π}{3}) - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{7 π - π}{3})$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai $π$ da $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{6 π}{3})$

Passaggio 6.5.2.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Scomponi $3$ da $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

Passaggio 6.5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

Passaggio 6.5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

Passaggio 6.5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 6.5.2.3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (2 π)$

Passaggio 6.5.2.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (0)$

Passaggio 6.5.2.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cdot 1$

Passaggio 6.5.2.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2$

Passaggio 6.5.2.7

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} & 2 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - 2 \\ \frac{11 π}{6} & 0 \\ \frac{7 π}{3} & 2 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $2$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: $\frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ a destra)

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} & 2 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - 2 \\ \frac{11 π}{6} & 0 \\ \frac{7 π}{3} & 2 \end{array}$

Passaggio 8