Precalcolo Esempi

$y = - 2 \cos (\frac{2}{3} x)$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - 2$

$b = \frac{2}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $2$

Passaggio 3

Trova il periodo di $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $\frac{2}{3}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Passaggio 3.3

$\frac{2}{3}$ corrisponde approssimativamente a $0.\overline{6}$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{3}{2}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{2}$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 π \frac{3}{2}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$π \cdot 3$

Passaggio 3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$3 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{0}{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $0 (\frac{3}{2})$

Passaggio 4.4

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{2}$ .

Sfasamento: $0$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $2$

Periodo: $3 π$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{2 (0)}{3})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Scomponi $3$ da $2 (0)$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3})$

Passaggio 6.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 (1)})$

Passaggio 6.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 \cdot 1})$

Passaggio 6.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{2 \cdot (0)}{1})$

Passaggio 6.1.2.1.2.4

Dividi $2 \cdot (0)$ per $1$ .

$f (0) = - 2 \cos (2 \cdot (0))$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

Passaggio 6.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.2.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (0) = - 2$

Passaggio 6.1.2.5

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

$2$ e $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})$

Passaggio 6.2.2.3

Riduci l'espressione $\frac{6 π}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

Passaggio 6.2.2.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})$

Passaggio 6.2.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

Passaggio 6.2.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

Passaggio 6.2.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 6.2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 6.2.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 6.2.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cdot 0$

Passaggio 6.2.2.7

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Passaggio 6.2.2.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{2})}{3})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

$2$ e $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

Passaggio 6.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{2}}{3})$

Passaggio 6.3.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Riduci l'espressione $\frac{6 π}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

Passaggio 6.3.2.3.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3})$

Passaggio 6.3.2.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3})$

Passaggio 6.3.2.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})$

Passaggio 6.3.2.3.2

Dividi $3 π$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Passaggio 6.3.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Passaggio 6.3.2.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (π)$

Passaggio 6.3.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- \cos (0))$

Passaggio 6.3.2.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.3.2.7

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.2.7.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2$

Passaggio 6.3.2.8

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{9 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

$2$ e $\frac{9 π}{4}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

Passaggio 6.4.2.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})$

Passaggio 6.4.2.3

Riduci l'espressione $\frac{18 π}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Scomponi $2$ da $18 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

Passaggio 6.4.2.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})$

Passaggio 6.4.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

Passaggio 6.4.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

Passaggio 6.4.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 6.4.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.5.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 6.4.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 6.4.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cdot 0$

Passaggio 6.4.2.8

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 0$

Passaggio 6.4.2.9

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3 π$ nell'espressione.

$f (3 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{3})$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (3 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{3})$

Passaggio 6.5.2.1.2

Dividi $2 (π)$ per $1$ .

$f (3 π) = - 2 \cos (2 (π))$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (3 π) = - 2 \cos (0)$

Passaggio 6.5.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (3 π) = - 2 \cdot 1$

Passaggio 6.5.2.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (3 π) = - 2$

Passaggio 6.5.2.5

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \\ \frac{9 π}{4} & 0 \\ 3 π & - 2 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $2$

Periodo: $3 π$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \\ \frac{9 π}{4} & 0 \\ 3 π & - 2 \end{array}$

Passaggio 8