Precalcolo Esempi

$y = - \frac{3}{4} \cdot \sin (x - \frac{π}{4})$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - \frac{3}{4}$

$b = 1$

$c = \frac{π}{4}$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $\frac{3}{4}$

Passaggio 3

Trova il periodo di $- \frac{3 \sin (x - \frac{π}{4})}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{\frac{π}{4}}{1}$

Passaggio 4.3

Dividi $\frac{π}{4}$ per $1$ .

Sfasamento: $\frac{π}{4}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $\frac{3}{4}$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: $\frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ a destra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{3 \sin ((\frac{π}{4}) - \frac{π}{4})}{4}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{π - π}{4})}{4}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{0}{4})}{4}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Dividi $0$ per $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{3 \sin (0)}{4}$

Passaggio 6.1.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{3 \cdot 0}{4}$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{0}{4}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Dividi $0$ per $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 0$

Passaggio 6.1.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 0$

Passaggio 6.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{3 \sin ((\frac{3 π}{4}) - \frac{π}{4})}{4}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{3 π - π}{4})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{2 π}{4})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{2 (π)}{4})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{3 \cdot 1}{4}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{3}{4}$

Passaggio 6.2.2.3

La risposta finale è $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{5 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \sin ((\frac{5 π}{4}) - \frac{π}{4})}{4}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{5 π - π}{4})}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Sottrai $π$ da $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{4 π}{4})}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{4 π}{4})}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \sin (π)}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \sin (0)}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{3 \cdot 0}{4}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Dividi $0$ per $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 0$

Passaggio 6.3.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0$

Passaggio 6.3.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{7 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{7 π}{4}) = - \frac{3 \sin ((\frac{7 π}{4}) - \frac{π}{4})}{4}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{7 π - π}{4})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Sottrai $π$ da $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{6 π}{4})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{2 (3 π)}{4})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{7 π}{4}) = - \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - \frac{- 3}{4}$

Passaggio 6.4.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{3}{4}$

Passaggio 6.4.2.3

La risposta finale è $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{9 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{9 π}{4}) = - \frac{3 \sin ((\frac{9 π}{4}) - \frac{π}{4})}{4}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{9 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{9 π - π}{4})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.2

Sottrai $π$ da $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{8 π}{4})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $8 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{4 (2 π)}{4})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9 π}{4}) = - \frac{3 \sin (\frac{2 π}{1})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - \frac{3 \sin (2 π)}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - \frac{3 \sin (0)}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - \frac{3 \cdot 0}{4}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - \frac{0}{4}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Dividi $0$ per $4$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 0$

Passaggio 6.5.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 0$

Passaggio 6.5.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{4} & - \frac{3}{4} \\ \frac{5 π}{4} & 0 \\ \frac{7 π}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{9 π}{4} & 0 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $\frac{3}{4}$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: $\frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ a destra)

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{4} & - \frac{3}{4} \\ \frac{5 π}{4} & 0 \\ \frac{7 π}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{9 π}{4} & 0 \end{array}$

Passaggio 8