Precalcolo Esempi

$y = \frac{3}{4} \cdot \cos (2 x + \frac{2 π}{3})$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = \frac{3}{4}$

$b = 2$

$c = - \frac{2 π}{3}$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $\frac{3}{4}$

Passaggio 3

Trova il periodo di $\frac{3 \cos (2 x + \frac{2 π}{3})}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 3.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 3.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- \frac{2 π}{3}}{2}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $- \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 π}{3}$ nel numeratore.

Sfasamento: $\frac{- 2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $2$ da $- 2 π$ .

Sfasamento: $\frac{2 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 4.4.3

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{2 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 4.4.4

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $\frac{- π}{3}$

Passaggio 4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

Sfasamento: $- \frac{π}{3}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $\frac{3}{4}$

Periodo: $π$

Sfasamento: $- \frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{π}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (2 (- \frac{π}{3}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1

Moltiplica $2 (- \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (- 2 \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.1.2.1.1.1.2

$- 2$ e $\frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{- 2 π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.1.2.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (- \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{- 2 π + 2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Somma $- 2 π$ e $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{0}{3})}{4}$

Passaggio 6.1.2.1.4

Dividi $0$ per $3$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (0)}{4}$

Passaggio 6.1.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cdot 1}{4}$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3}{4}$

Passaggio 6.1.2.3

La risposta finale è $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{π}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{π}{12}$ nell'espressione.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (- \frac{π}{12}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{12}$ nel numeratore.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{- π}{12}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $12$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{- π}{2 (6)}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 6}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{- π}{6} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{- π + 2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{- π + 4 π}{6})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.5.2

Somma $- π$ e $4 π$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{6})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.6.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (π)}{6})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cdot 0}{4}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Dividi $0$ per $4$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 0$

Passaggio 6.2.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{π}{6}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{π}{2 (3)}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{π + 2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (π)}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 (- \cos (0))}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{3}{4}$

Passaggio 6.3.2.3

La risposta finale è $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{5 π}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{12}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{5 π}{12}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π + 2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π + 4 π}{6})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.5.2

Somma $5 π$ e $4 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{9 π}{6})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.6

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.6.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{2})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.8

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cdot 0}{4}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.4.2.2.2

Dividi $0$ per $4$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 0$

Passaggio 6.4.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Moltiplica $2 \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1.1

$2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{2 (2 π)}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{4 π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{4 π + 2 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.3

Somma $4 π$ e $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{6 π}{3})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{2 π}{1})}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.4.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (2 π)}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.5

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (0)}{4}$

Passaggio 6.5.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cdot 1}{4}$

Passaggio 6.5.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{4}$

Passaggio 6.5.2.3

La risposta finale è $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & \frac{3}{4} \\ - \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{6} & - \frac{3}{4} \\ \frac{5 π}{12} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & \frac{3}{4} \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $\frac{3}{4}$

Periodo: $π$

Sfasamento: $- \frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & \frac{3}{4} \\ - \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{6} & - \frac{3}{4} \\ \frac{5 π}{12} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & \frac{3}{4} \end{array}$

Passaggio 8