Precalcolo Esempi

$y = - 2 x^{2} + 16 x - 5$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $- 2 x^{2} + 16 x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 2$

$b = 16$

$c = - 5$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (- 2)}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{8}{- 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$d = \frac{2 (4)}{- 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.1.1.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$d = - 4$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{16^{2}}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$e = - 5 - \frac{256}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$e = - 5 - \frac{256}{- 8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Dividi $256$ per $- 8$ .

$e = - 5 - - 32$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 32$ .

$e = - 5 + 32$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Somma $- 5$ e $32$ .

$e = 27$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 2 {(x - 4)}^{2} + 27$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} + 27$

Passaggio 1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - 2 {(x - 4)}^{2} + 27$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 2$

$h = 4$

$k = 27$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(4, 27)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{8}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(4, \frac{215}{8})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 4$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{217}{8}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(4, 27)$

Fuoco: $(4, \frac{215}{8})$

Asse di simmetria: $x = 4$

Direttrice: $y = \frac{217}{8}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(4, 27)$

Fuoco: $(4, \frac{215}{8})$

Asse di simmetria: $x = 4$

Direttrice: $y = \frac{217}{8}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = - 2 {(3)}^{2} + 16 (3) - 5$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = - 2 \cdot 9 + 16 (3) - 5$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$f (3) = - 18 + 16 (3) - 5$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $16$ per $3$ .

$f (3) = - 18 + 48 - 5$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $- 18$ e $48$ .

$f (3) = 30 - 5$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $5$ da $30$ .

$f (3) = 25$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $25$ .

$25$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = 3$ è $25$ .

$y = 25$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - 2 {(2)}^{2} + 16 (2) - 5$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = - 2 \cdot 4 + 16 (2) - 5$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f (2) = - 8 + 16 (2) - 5$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $16$ per $2$ .

$f (2) = - 8 + 32 - 5$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $- 8$ e $32$ .

$f (2) = 24 - 5$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $5$ da $24$ .

$f (2) = 19$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $19$ .

$19$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = 2$ è $19$ .

$y = 19$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = - 2 {(5)}^{2} + 16 (5) - 5$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = - 2 \cdot 25 + 16 (5) - 5$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$f (5) = - 50 + 16 (5) - 5$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica $16$ per $5$ .

$f (5) = - 50 + 80 - 5$

Passaggio 2.8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Somma $- 50$ e $80$ .

$f (5) = 30 - 5$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai $5$ da $30$ .

$f (5) = 25$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $25$ .

$25$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 5$ è $25$ .

$y = 25$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = - 2 {(6)}^{2} + 16 (6) - 5$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (6) = - 2 \cdot 36 + 16 (6) - 5$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $- 2$ per $36$ .

$f (6) = - 72 + 16 (6) - 5$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica $16$ per $6$ .

$f (6) = - 72 + 96 - 5$

Passaggio 2.11.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Somma $- 72$ e $96$ .

$f (6) = 24 - 5$

Passaggio 2.11.2.2

Sottrai $5$ da $24$ .

$f (6) = 19$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $19$ .

$19$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 6$ è $19$ .

$y = 19$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 19 \\ 3 & 25 \\ 4 & 27 \\ 5 & 25 \\ 6 & 19 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(4, 27)$

Fuoco: $(4, \frac{215}{8})$

Asse di simmetria: $x = 4$

Direttrice: $y = \frac{217}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 19 \\ 3 & 25 \\ 4 & 27 \\ 5 & 25 \\ 6 & 19 \end{array}$

Passaggio 4