Precalcolo Esempi

$y = \frac{1}{2} \cdot \cos (8 x)$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 8$

$c = 0$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $\frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova il periodo di $\frac{\cos (8 x)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $8$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 8 |}$

Passaggio 3.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $8$ è $8$ .

$\frac{2 π}{8}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{8}$

Passaggio 3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{4}$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{0}{8}$

Passaggio 4.3

Dividi $0$ per $8$ .

Sfasamento: $0$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $\frac{1}{2}$

Periodo: $\frac{π}{4}$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{\cos (8 (0))}{2}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (0)}{2}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.1.2.2

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{16}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{16}) = \frac{\cos (8 (\frac{π}{16}))}{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$f (\frac{π}{16}) = \frac{\cos (8 (\frac{π}{8 (2)}))}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{16}) = \frac{\cos (8 (\frac{π}{8 \cdot 2}))}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{16}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{16}) = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\frac{π}{16}) = 0$

Passaggio 6.2.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{8}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\cos (8 (\frac{π}{8}))}{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\cos (8 (\frac{π}{8}))}{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\cos (π)}{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{- \cos (0)}{2}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3 π}{16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{16}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{16}) = \frac{\cos (8 (\frac{3 π}{16}))}{2}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = \frac{\cos (8 (\frac{3 π}{8 (2)}))}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{16}) = \frac{\cos (8 (\frac{3 π}{8 \cdot 2}))}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{16}) = \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{16}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.4.2.2

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 0$

Passaggio 6.4.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (8 (\frac{π}{4}))}{2}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (4 (2) (\frac{π}{4}))}{2}$

Passaggio 6.5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (4 \cdot (2 (\frac{π}{4})))}{2}$

Passaggio 6.5.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (2 π)}{2}$

Passaggio 6.5.2.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (0)}{2}$

Passaggio 6.5.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{π}{16} & 0 \\ \frac{π}{8} & - \frac{1}{2} \\ \frac{3 π}{16} & 0 \\ \frac{π}{4} & \frac{1}{2} \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $\frac{1}{2}$

Periodo: $\frac{π}{4}$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{π}{16} & 0 \\ \frac{π}{8} & - \frac{1}{2} \\ \frac{3 π}{16} & 0 \\ \frac{π}{4} & \frac{1}{2} \end{array}$

Passaggio 8