Precalcolo Esempi

$x = y^{2} + 16 y + 64$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

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Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $y^{2} + 16 y + 64$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 16$

$c = 64$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{8}{1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$d = 8$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 64 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$e = 64 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 64 - \frac{256}{4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Dividi $256$ per $4$ .

$e = 64 - 1 \cdot 64$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$e = 64 - 64$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Sottrai $64$ da $64$ .

$e = 0$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y + 8)}^{2} + 0$ .

${(y + 8)}^{2} + 0$

Passaggio 1.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = {(y + 8)}^{2} + 0$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = - 8$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(0, - 8)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{4}, - 8)$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = - 8$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(0, - 8)$

Fuoco: $(\frac{1}{4}, - 8)$

Asse di simmetria: $y = - 8$

Direttrice: $x = - \frac{1}{4}$

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(0, - 8)$

Fuoco: $(\frac{1}{4}, - 8)$

Asse di simmetria: $y = - 8$

Direttrice: $x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 2.1

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = - 8 + \sqrt{x}$ . In questo caso, il punto è $(1, - 7)$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 8 + \sqrt{1}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = - 8 + 1$

Passaggio 2.1.2.2

Somma $- 8$ e $1$ .

$f (1) = - 7$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è $- 7$ .

$y = - 7$

Passaggio 2.1.3

Converti $- 7$ in decimale.

$= - 7$

Passaggio 2.2

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = - 8 - \sqrt{x}$ . In questo caso, il punto è $(1, - 9)$ .

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 8 - \sqrt{1}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = - 8 - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = - 8 - 1$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $1$ da $- 8$ .

$f (1) = - 9$

Passaggio 2.2.2.3

La risposta finale è $- 9$ .

$y = - 9$

Passaggio 2.2.3

Converti $- 9$ in decimale.

$= - 9$

Passaggio 2.3

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = - 8 + \sqrt{x}$ . In questo caso, il punto è $(2, - 6.58578643)$ .

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Passaggio 2.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - 8 + \sqrt{2}$

Passaggio 2.3.2

La risposta finale è $- 8 + \sqrt{2}$ .

$y = - 8 + \sqrt{2}$

Passaggio 2.3.3

Converti $- 8 + \sqrt{2}$ in decimale.

$= - 6.58578643$

Passaggio 2.4

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = - 8 - \sqrt{x}$ . In questo caso, il punto è $(2, - 9.41421356)$ .

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Passaggio 2.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - 8 - \sqrt{2}$

Passaggio 2.4.2

La risposta finale è $- 8 - \sqrt{2}$ .

$y = - 8 - \sqrt{2}$

Passaggio 2.4.3

Converti $- 8 - \sqrt{2}$ in decimale.

$= - 9.41421356$

Passaggio 2.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 8 \\ 1 & - 7 \\ 1 & - 9 \\ 2 & - 6.59 \\ 2 & - 9.41 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(0, - 8)$

Fuoco: $(\frac{1}{4}, - 8)$

Asse di simmetria: $y = - 8$

Direttrice: $x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 8 \\ 1 & - 7 \\ 1 & - 9 \\ 2 & - 6.59 \\ 2 & - 9.41 \end{array}$

Passaggio 4