Precalcolo Esempi

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi.

$x - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${(y - 1)}^{2}$ come $(y - 1) (y - 1)$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot ((y - 1) (y - 1))$

Passaggio 1.3

Espandi $(y - 1) (y - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y (y - 1) - 1 (y - 1))$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1))$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.4.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.4.1.4

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y + 1)$

Passaggio 1.4.2

Sottrai $y$ da $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 2 y + 1)$

Passaggio 1.5

Applica la proprietà distributiva.

$x - 4 = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.6.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4$

Passaggio 2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3

$4$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 8}{2}$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ e $8$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$

Passaggio 3

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

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Passaggio 3.1.1

Completa il quadrato per $\frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$ .

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Passaggio 3.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = \frac{9}{2}$

Passaggio 3.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 3.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.1.1.3.2.2

Dividi $2$ per $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 3.1.1.3.2.3

Dividi $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 3.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 3.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.3

Dividi $4$ per $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.1.1.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{9 - 1}{2}$

Passaggio 3.1.1.4.2.3

Sottrai $1$ da $9$ .

$e = \frac{8}{2}$

Passaggio 3.1.1.4.2.4

Dividi $8$ per $2$ .

$e = 4$

Passaggio 3.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$

Passaggio 3.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2} + 4$

Passaggio 3.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = 1$

Passaggio 3.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 3.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(4, 1)$

Passaggio 3.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 3.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 3.5.3.2

Dividi $4$ per $2$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 3.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 3.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{9}{2}, 1)$

Passaggio 3.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 1$

Passaggio 3.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 3.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 3.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = \frac{7}{2}$

Passaggio 3.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(4, 1)$

Fuoco: $(\frac{9}{2}, 1)$

Asse di simmetria: $y = 1$

Direttrice: $x = \frac{7}{2}$

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(4, 1)$

Fuoco: $(\frac{9}{2}, 1)$

Asse di simmetria: $y = 1$

Direttrice: $x = \frac{7}{2}$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $5$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . In questo caso, il punto è $(5, 2.41421356)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Sottrai $4$ da $5$ .

$f (5) = \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (5) = \sqrt{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.2

La risposta finale è $\sqrt{2} + 1$ .

$y = \sqrt{2} + 1$

Passaggio 4.1.3

Converti $\sqrt{2} + 1$ in decimale.

$= 2.41421356$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $5$ di $x$ in $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . In questo caso, il punto è $(5, - 0.41421356)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = - \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Sottrai $4$ da $5$ .

$f (5) = - \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (5) = - \sqrt{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.2

La risposta finale è $- \sqrt{2} + 1$ .

$y = - \sqrt{2} + 1$

Passaggio 4.2.3

Converti $- \sqrt{2} + 1$ in decimale.

$= - 0.41421356$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $6$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . In questo caso, il punto è $(6, 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Sottrai $4$ da $6$ .

$f (6) = \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (6) = \sqrt{4} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (6) = \sqrt{2^{2}} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (6) = 2 + 1$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$f (6) = 3$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 4.3.3

Converti $3$ in decimale.

$= 3$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $6$ di $x$ in $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . In questo caso, il punto è $(6, - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = - \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Sottrai $4$ da $6$ .

$f (6) = - \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Passaggio 4.4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (6) = - \sqrt{4} + 1$

Passaggio 4.4.2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (6) = - \sqrt{2^{2}} + 1$

Passaggio 4.4.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (6) = - 1 \cdot 2 + 1$

Passaggio 4.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (6) = - 2 + 1$

Passaggio 4.4.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$f (6) = - 1$

Passaggio 4.4.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 4.4.3

Converti $- 1$ in decimale.

$= - 1$

Passaggio 4.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Passaggio 5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(4, 1)$

Fuoco: $(\frac{9}{2}, 1)$

Asse di simmetria: $y = 1$

Direttrice: $x = \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Passaggio 6