Precalcolo Esempi

$y + 2 = - 2 {(x + 3)}^{2}$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 2 {(x + 3)}^{2} - 2$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 2$

$h = - 3$

$k = - 2$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 3, - 2)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{8}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 3, - \frac{17}{8})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 3$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{15}{8}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- 3, - 2)$

Fuoco: $(- 3, - \frac{17}{8})$

Asse di simmetria: $x = - 3$

Direttrice: $y = - \frac{15}{8}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- 3, - 2)$

Fuoco: $(- 3, - \frac{17}{8})$

Asse di simmetria: $x = - 3$

Direttrice: $y = - \frac{15}{8}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = - 2 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4 - 20$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f (- 4) = - 2 \cdot 16 - 12 \cdot - 4 - 20$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$f (- 4) = - 32 - 12 \cdot - 4 - 20$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 4$ .

$f (- 4) = - 32 + 48 - 20$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $- 32$ e $48$ .

$f (- 4) = 16 - 20$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $20$ da $16$ .

$f (- 4) = - 4$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 4$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = - 2 {(- 5)}^{2} - 12 \cdot - 5 - 20$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = - 2 \cdot 25 - 12 \cdot - 5 - 20$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$f (- 5) = - 50 - 12 \cdot - 5 - 20$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 5$ .

$f (- 5) = - 50 + 60 - 20$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $- 50$ e $60$ .

$f (- 5) = 10 - 20$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $20$ da $10$ .

$f (- 5) = - 10$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $- 10$ .

$- 10$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 5$ è $- 10$ .

$y = - 10$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1.1

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Passaggio 2.8.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Passaggio 2.8.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 - 20$

Passaggio 2.8.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 12 \cdot - 2 - 20$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 24 - 20$

Passaggio 2.8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Somma $- 8$ e $24$ .

$f (- 2) = 16 - 20$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai $20$ da $16$ .

$f (- 2) = - 4$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1 - 20$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = - 2 \cdot 1 - 12 \cdot - 1 - 20$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 12 \cdot - 1 - 20$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 12 - 20$

Passaggio 2.11.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Somma $- 2$ e $12$ .

$f (- 1) = 10 - 20$

Passaggio 2.11.2.2

Sottrai $20$ da $10$ .

$f (- 1) = - 10$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $- 10$ .

$- 10$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $- 10$ .

$y = - 10$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- 3, - 2)$

Fuoco: $(- 3, - \frac{17}{8})$

Asse di simmetria: $x = - 3$

Direttrice: $y = - \frac{15}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

Passaggio 4