Precalcolo Esempi

$y = - 3 \cos (π - x) - 2$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - 3$

$b = - 1$

$c = - π$

$d = - 2$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $3$

Passaggio 3

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il periodo di $- 3 \cos (π - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci $b$ con $- 1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| - 1 |}$

Passaggio 3.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.1.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2

Trova il periodo di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci $b$ con $- 1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| - 1 |}$

Passaggio 3.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$2 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- π}{- 1}$

Passaggio 4.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

Sfasamento: $\frac{π}{1}$

Passaggio 4.4

Dividi $π$ per $1$ .

Sfasamento: $π$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $3$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: $π$ ( $π$ a destra)

Traslazione verticale: $- 2$

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π$ nell'espressione.

$f (π) = - 3 \cos (- (π) + π) - 2$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Somma $- π$ e $π$ .

$f (π) = - 3 \cos (0) - 2$

Passaggio 6.1.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (π) = - 3 \cdot 1 - 2$

Passaggio 6.1.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (π) = - 3 - 2$

Passaggio 6.1.2.2

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$f (π) = - 5$

Passaggio 6.1.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- (\frac{3 π}{2}) + π) - 2$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{3 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.2

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{3 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 3 π + π \cdot 2}{2}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 3 π + 2 \cdot π}{2}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Somma $- 3 π$ e $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- π}{2}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{π}{2}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.6

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{2}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.8

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cdot 0 - 2$

Passaggio 6.2.2.1.9

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0 - 2$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2$

Passaggio 6.2.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2 π$ nell'espressione.

$f (2 π) = - 3 \cos (- (2 π) + π) - 2$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (2 π) = - 3 \cos (- 2 π + π) - 2$

Passaggio 6.3.2.1.2

Somma $- 2 π$ e $π$ .

$f (2 π) = - 3 \cos (- π) - 2$

Passaggio 6.3.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (2 π) = - 3 (- \cos (0)) - 2$

Passaggio 6.3.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (2 π) = - 3 (- 1 \cdot 1) - 2$

Passaggio 6.3.2.1.5

Moltiplica $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (2 π) = - 3 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 6.3.2.1.5.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f (2 π) = 3 - 2$

Passaggio 6.3.2.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (2 π) = 1$

Passaggio 6.3.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{5 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- (\frac{5 π}{2}) + π) - 2$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.2

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 5 π + π \cdot 2}{2}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 5 π + 2 \cdot π}{2}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.4.2

Somma $- 5 π$ e $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 3 π}{2}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{(3) π}{2}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.6

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cdot 0 - 2$

Passaggio 6.4.2.1.8

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 0 - 2$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 2$

Passaggio 6.4.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3 π$ nell'espressione.

$f (3 π) = - 3 \cos (- (3 π) + π) - 2$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (3 π) = - 3 \cos (- 3 π + π) - 2$

Passaggio 6.5.2.1.2

Somma $- 3 π$ e $π$ .

$f (3 π) = - 3 \cos (- 2 π) - 2$

Passaggio 6.5.2.1.3

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (3 π) = - 3 \cos (0) - 2$

Passaggio 6.5.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (3 π) = - 3 \cdot 1 - 2$

Passaggio 6.5.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (3 π) = - 3 - 2$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$f (3 π) = - 5$

Passaggio 6.5.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & - 5 \\ \frac{3 π}{2} & - 2 \\ 2 π & 1 \\ \frac{5 π}{2} & - 2 \\ 3 π & - 5 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $3$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: $π$ ( $π$ a destra)

Traslazione verticale: $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & - 5 \\ \frac{3 π}{2} & - 2 \\ 2 π & 1 \\ \frac{5 π}{2} & - 2 \\ 3 π & - 5 \end{array}$

Passaggio 8