Precalcolo Esempi

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi ${(x - 3)}^{2}$ come $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 3) (x - 3))$

Passaggio 1.1.3

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 1.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 1.1.4.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 1.1.4.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

Passaggio 1.1.4.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$

Passaggio 1.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$y - 5 = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Passaggio 1.1.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Passaggio 1.1.6.2.2

Scomponi $2$ da $- 6 x$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Passaggio 1.1.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Passaggio 1.1.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- 3 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Passaggio 1.1.6.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{1}{2} \cdot 9$

Passaggio 1.1.6.4

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 9 (\frac{1}{2})$

Passaggio 1.1.6.4.2

$- 9$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9}{2}$

Passaggio 1.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2}$

Passaggio 1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5$

Passaggio 1.2.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.3

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 5 \cdot 2}{2}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 10}{2}$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $- 9$ e $10$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Dividi $- 2$ per $2$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Passaggio 2.1.1.3.2.3

Dividi $3$ per $- 1$ .

$d = - 3$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Dividi $- 4$ per $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = \frac{1}{2} - - \frac{9}{2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5

Moltiplica $- - \frac{9}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = \frac{1}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $1$ .

$e = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{1 + 9}{2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.3

Somma $1$ e $9$ .

$e = \frac{10}{2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.4

Dividi $10$ per $2$ .

$e = 5$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$

Passaggio 2.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 5$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 5$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(3, 5)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.5.3.2

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 2.5.3.3

Dividi $4$ per $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(3, \frac{9}{2})$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 3$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{11}{2}$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(3, 5)$

Fuoco: $(3, \frac{9}{2})$

Asse di simmetria: $x = 3$

Direttrice: $y = \frac{11}{2}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(3, 5)$

Fuoco: $(3, \frac{9}{2})$

Asse di simmetria: $x = 3$

Direttrice: $y = \frac{11}{2}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 3 (1) + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- {(1)}^{2} + 1}{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 + 1}{2}$

Passaggio 3.2.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{0}{2}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 3 + \frac{0}{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Dividi $0$ per $2$ .

$f (1) = 3 + 0$

Passaggio 3.2.5

Somma $3$ e $0$ .

$f (1) = 3$

Passaggio 3.2.6

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 3.3

Il valore $y$ con $x = 1$ è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 3.4

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 3 (2) + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = 3 (2) + \frac{- {(2)}^{2} + 1}{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{2}$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 4 + 1}{2}$

Passaggio 3.5.3

Somma $- 4$ e $1$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (2) = 6 + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.5.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (2) = 6 - \frac{3}{2}$

Passaggio 3.5.5

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 3.5.6

$6$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 3.5.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Passaggio 3.5.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$f (2) = \frac{12 - 3}{2}$

Passaggio 3.5.8.2

Sottrai $3$ da $12$ .

$f (2) = \frac{9}{2}$

Passaggio 3.5.9

La risposta finale è $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Passaggio 3.6

Il valore $y$ con $x = 2$ è $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Passaggio 3.7

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 3 (5) + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (5) = 3 (5) + \frac{- {(5)}^{2} + 1}{2}$

Passaggio 3.8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 1 \cdot 25 + 1}{2}$

Passaggio 3.8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 25 + 1}{2}$

Passaggio 3.8.3

Somma $- 25$ e $1$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 24}{2}$

Passaggio 3.8.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f (5) = 15 + \frac{- 24}{2}$

Passaggio 3.8.4.2

Dividi $- 24$ per $2$ .

$f (5) = 15 - 12$

Passaggio 3.8.5

Sottrai $12$ da $15$ .

$f (5) = 3$

Passaggio 3.8.6

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 3.9

Il valore $y$ con $x = 5$ è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 3.10

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{2} + 3 (4) + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (4) = 3 (4) + \frac{- {(4)}^{2} + 1}{2}$

Passaggio 3.11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 1 \cdot 16 + 1}{2}$

Passaggio 3.11.2.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 16 + 1}{2}$

Passaggio 3.11.3

Somma $- 16$ e $1$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 15}{2}$

Passaggio 3.11.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (4) = 12 + \frac{- 15}{2}$

Passaggio 3.11.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (4) = 12 - \frac{15}{2}$

Passaggio 3.11.5

Per scrivere $12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Passaggio 3.11.6

$12$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Passaggio 3.11.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (4) = \frac{12 \cdot 2 - 15}{2}$

Passaggio 3.11.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.8.1

Moltiplica $12$ per $2$ .

$f (4) = \frac{24 - 15}{2}$

Passaggio 3.11.8.2

Sottrai $15$ da $24$ .

$f (4) = \frac{9}{2}$

Passaggio 3.11.9

La risposta finale è $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Passaggio 3.12

Il valore $y$ con $x = 4$ è $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Passaggio 3.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(3, 5)$

Fuoco: $(3, \frac{9}{2})$

Asse di simmetria: $x = 3$

Direttrice: $y = \frac{11}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Passaggio 5