Precalcolo Esempi

$p (x) = (x - 1) (x + 2)$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $(x - 1) (x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Espandi $(x - 1) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x + 2) - 1 (x + 2)$

Passaggio 1.1.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)$

Passaggio 1.1.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.1.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{2} + 2 x - x - 2$

Passaggio 1.1.1.1.2.2

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$x^{2} + x - 2$

Passaggio 1.1.1.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = - 2$

Passaggio 1.1.1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.1.1.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e = - 2 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = - 2 - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$e = - 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.3

$- 2$ e $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 2 \cdot 4 - 1}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$e = \frac{- 8 - 1}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.5.2

Sottrai $1$ da $- 8$ .

$e = \frac{- 9}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - \frac{9}{4}$

Passaggio 1.1.1.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Passaggio 1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = - \frac{9}{4}$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{1}{2}, - 2)$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Fuoco: $(- \frac{1}{2}, - 2)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{1}{2}$

Direttrice: $y = - \frac{5}{2}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Fuoco: $(- \frac{1}{2}, - 2)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{1}{2}$

Direttrice: $y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = ((- 1) - 1) ((- 1) + 2)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 ((- 1) + 2)$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$f (- 1) = - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (- 1) = - 2$

Passaggio 2.2.4

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = ((- 2) - 1) ((- 2) + 2)$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$f (- 2) = - 3 ((- 2) + 2)$

Passaggio 2.5.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (- 2) = - 3 \cdot 0$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (- 2) = 0$

Passaggio 2.5.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = ((1) - 1) ((1) + 2)$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = 0 ((1) + 2)$

Passaggio 2.8.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (1) = 0 \cdot 3$

Passaggio 2.8.3

Moltiplica $0$ per $3$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 2.8.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 1$ è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = ((2) - 1) ((2) + 2)$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = 1 ((2) + 2)$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $(2) + 2$ per $1$ .

$f (2) = (2) + 2$

Passaggio 2.11.3

Somma $2$ e $2$ .

$f (2) = 4$

Passaggio 2.11.4

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 2 \\ - \frac{1}{2} & - \frac{9}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Fuoco: $(- \frac{1}{2}, - 2)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{1}{2}$

Direttrice: $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 2 \\ - \frac{1}{2} & - \frac{9}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}$

Passaggio 4