Precalcolo Esempi

$f (x) = 3 \log (x + 5) + 2$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ è indefinita.

$x \leq - 5$

Passaggio 1.2

Poiché $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 5$ da sinistra e $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 5$ da destra, allora $x = - 5$ è un asintoto verticale.

$x = - 5$

Passaggio 1.3

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.4

Non ci sono asintoti orizzontali perché $Q (x)$ è $1$ .

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 1.5

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 5$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti verticali: $x = - 5$

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = 3 \log ((- 4) + 5) + 2$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Somma $- 4$ e $5$ .

$f (- 4) = 3 \log (1) + 2$

Passaggio 2.2.1.2

Il logaritmo in base $10$ di $1$ è $0$ .

$f (- 4) = 3 \cdot 0 + 2$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (- 4) = 0 + 2$

Passaggio 2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (- 4) = 2$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 2.3

Converti $2$ in decimale.

$y = 2$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = 3 \log ((5) + 5) + 2$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Somma $5$ e $5$ .

$f (5) = 3 \log (10) + 2$

Passaggio 3.2.1.2

Il logaritmo in base $10$ di $10$ è $1$ .

$f (5) = 3 \cdot 1 + 2$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (5) = 3 + 2$

Passaggio 3.2.2

Somma $3$ e $2$ .

$f (5) = 5$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 3.3

Converti $5$ in decimale.

$y = 5$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = 3 \log ((- 3) + 5) + 2$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Somma $- 3$ e $5$ .

$f (- 3) = 3 \log (2) + 2$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica $3 \log (2)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f (- 3) = \log (2^{3}) + 2$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 3) = \log (8) + 2$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è $\log (8) + 2$ .

$\log (8) + 2$

Passaggio 4.3

Converti $\log (8) + 2$ in decimale.

$y = 2.90308998$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = - 5$ e i punti $(- 4, 2), (5, 5), (- 3, 2.90308998)$ .

Asintoto verticale: $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 2.903 \\ 5 & 5 \end{array}$

Passaggio 6