Precalcolo Esempi

$f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 4$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $- 2 x^{2} - 5 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 2$

$b = - 5$

$c = - 4$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$d = \frac{- 5}{- 4}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$d = \frac{5}{4}$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$e = - 4 - \frac{25}{- 8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - 4 - - \frac{25}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{25}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = - 4 + 1 (\frac{25}{8})$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{25}{8}$ per $1$ .

$e = - 4 + \frac{25}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$e = - 4 \cdot \frac{8}{8} + \frac{25}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.3

$- 4$ e $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{- 4 \cdot 8}{8} + \frac{25}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 4 \cdot 8 + 25}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.5.1

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$e = \frac{- 32 + 25}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.5.2

Somma $- 32$ e $25$ .

$e = \frac{- 7}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - \frac{7}{8}$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$ .

$- 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$

Passaggio 1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 2$

$h = - \frac{5}{4}$

$k = - \frac{7}{8}$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{8}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{5}{4}, - 1)$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - \frac{5}{4}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{3}{4}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

Fuoco: $(- \frac{5}{4}, - 1)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{5}{4}$

Direttrice: $y = - \frac{3}{4}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

Fuoco: $(- \frac{5}{4}, - 1)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{5}{4}$

Direttrice: $y = - \frac{3}{4}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 4$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 4$

Passaggio 2.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 5 \cdot - 2 - 4$

Passaggio 2.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 5 \cdot - 2 - 4$

Passaggio 2.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 5 \cdot - 2 - 4$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 10 - 4$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $- 8$ e $10$ .

$f (- 2) = 2 - 4$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$f (- 2) = - 2$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = - 2 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 - 4$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = - 2 \cdot 9 - 5 \cdot - 3 - 4$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$f (- 3) = - 18 - 5 \cdot - 3 - 4$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$f (- 3) = - 18 + 15 - 4$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $- 18$ e $15$ .

$f (- 3) = - 3 - 4$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $4$ da $- 3$ .

$f (- 3) = - 7$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $- 7$ .

$- 7$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 3$ è $- 7$ .

$y = - 7$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 2 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 - 4$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 4$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 - 4$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4$

Passaggio 2.8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f (0) = - 4$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 0$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 2 {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 4$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 4$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = - 2 - 5 \cdot 1 - 4$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f (1) = - 2 - 5 - 4$

Passaggio 2.11.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Sottrai $5$ da $- 2$ .

$f (1) = - 7 - 4$

Passaggio 2.11.2.2

Sottrai $4$ da $- 7$ .

$f (1) = - 11$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $- 11$ .

$- 11$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 1$ è $- 11$ .

$y = - 11$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 7 \\ - 2 & - 2 \\ - \frac{5}{4} & - \frac{7}{8} \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 11 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

Fuoco: $(- \frac{5}{4}, - 1)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{5}{4}$

Direttrice: $y = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 7 \\ - 2 & - 2 \\ - \frac{5}{4} & - \frac{7}{8} \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 11 \end{array}$

Passaggio 4