Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{4} - 16 x^{2} \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{4} - 16 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 16 x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 16 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$x^{2} (x^{2} - 16) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

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Passaggio 2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$x^{2} ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, - 4, 4$

Passaggio 2.8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 2.9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

${(- 6)}^{4} - 16 {(- 6)}^{2} \geq 0$

Passaggio 2.9.1.3

Il lato sinistro di $720$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 2.9.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

${(- 2)}^{4} - 16 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Passaggio 2.9.2.3

Il lato sinistro di $- 48$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.9.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 2.9.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(2)}^{4} - 16 {(2)}^{2} \geq 0$

Passaggio 2.9.3.3

Il lato sinistro di $- 48$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.9.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 2.9.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

${(6)}^{4} - 16 {(6)}^{2} \geq 0$

Passaggio 2.9.4.3

Il lato sinistro di $720$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.9.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

Passaggio 2.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 4$ o $x \geq 4$ o $x = 0$

Passaggio 2.11

Combina gli intervalli.

$x \leq - 4 or x = 0 or x \geq 4$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Passaggio 4

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \geq 0}$

Passaggio 5

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty), {x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Intervallo: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Passaggio 6