Precalcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{11} 3 \cdot 2^{i}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ .

$r = \frac{3 \cdot 2^{i + 1}}{3 \cdot 2^{i}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{3 \cdot 2^{i + 1}}{3 \cdot 2^{i}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $2^{i + 1}$ e $2^{i}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $2^{i}$ da $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{2}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$r = 2$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 3.1

Sostituisci $i$ con $1$ in $3 \cdot 2^{i}$ .

$a = 3 \cdot 2^{1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Calcola l'esponente.

$a = 3 \cdot 2$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$a = 6$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$6 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $11$ .

$6 \frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2048$ .

$6 \frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.3

Sottrai $2048$ da $1$ .

$6 \frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 \frac{- 2047}{1 - 2}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$6 (\frac{- 2047}{- 1})$

Passaggio 5.3

Dividi $- 2047$ per $- 1$ .

$6 \cdot 2047$

Passaggio 5.4

Moltiplica $6$ per $2047$ .

$12282$