Precalcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{\infty} 12 {(- 0.7)}^{i - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ .

$r = \frac{12 {(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{12 {(- 0.7)}^{i - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{12 {(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{12 {(- 0.7)}^{i - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{{(- 0.7)}^{i - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(- 0.7)}^{i + 1 - 1}$ e ${(- 0.7)}^{i - 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(- 0.7)}^{i - 1}$ da ${(- 0.7)}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}$ per $1$ .

$r = {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $i$ e $0$ .

$r = {(- 0.7)}^{i - (i - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(- 0.7)}^{i - i - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(- 0.7)}^{i - i + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $i$ da $i$ .

$r = {(- 0.7)}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(- 0.7)}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Calcola l'esponente.

$r = - 0.7$

Passaggio 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 4.1

Sostituisci $i$ con $1$ in $12 {(- 0.7)}^{i - 1}$ .

$a = 12 {(- 0.7)}^{1 - 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = 12 {(- 0.7)}^{0}$

Passaggio 4.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 12 \cdot 1$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$a = 12$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{12}{1 + 0.7}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Somma $1$ e $0.7$ .

$\frac{12}{1.7}$

Passaggio 6.2

Dividi $12$ per $1.7$ .

$7.05882352$