Precalcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 4 (3 x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 12 (x h^{2}) + 4 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.4

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.5

La risposta finale è $4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3}$

Passaggio 2.2.3

Sposta $4 x^{3}$ .

$12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 x^{3}$

Passaggio 2.2.4

Sposta $12 h x^{2}$ .

$12 h^{2} x + 4 h^{3} + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

Passaggio 2.2.5

Riordina $12 h^{2} x$ e $4 h^{3}$ .

$4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

$f (x) = 4 x^{3}$

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

$f (x) = 4 x^{3}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} - (4 x^{3})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $4 x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 0}{h}$

Passaggio 4.1.3

Somma $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}$ e $0$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $4 h$ da $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $4 h$ da $4 h^{3}$ .

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4.2

Scomponi $4 h$ da $12 h^{2} x$ .

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x) + 12 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4.3

Scomponi $4 h$ da $12 h x^{2}$ .

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x) + 4 h (3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.4.4

Scomponi $4 h$ da $4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x)$ .

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x) + 4 h (3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.4.5

Scomponi $4 h$ da $4 h (h^{2} + 3 h x) + 4 h (3 x^{2})$ .

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $4 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ per $1$ .

$4 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 h^{2} + 4 (3 h x) + 4 (3 x^{2})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$4 h^{2} + 12 (h x) + 4 (3 x^{2})$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$4 h^{2} + 12 (h x) + 12 x^{2}$

Passaggio 4.4

Sposta $h$ .

$4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2}$

Passaggio 4.5

Sposta $4 h^{2}$ .

$12 x h + 12 x^{2} + 4 h^{2}$

Passaggio 4.6

Riordina $12 x h$ e $12 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 12 x h + 4 h^{2}$

Passaggio 5