Precalcolo Esempi

$f (x) = \ln (x + 6)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \ln (x + 6)$ come un'equazione.

$y = \ln (x + 6)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \ln (y + 6)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (y + 6) = x$ .

$\ln (y + 6) = x$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y + 6)} = e^{x}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (y + 6) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y + 6$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $y + 6 = e^{x}$ .

$y + 6 = e^{x}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = e^{x} - 6$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x} - 6$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = e^{x} - 6$ è l'inverso di $f (x) = \ln (x + 6)$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\ln (x + 6))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 6)) = e^{\ln (x + 6)} - 6$

Passaggio 5.2.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\ln (x + 6)) = x + 6 - 6$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 6 - 6$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $6$ da $6$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 6)) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 6)) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (e^{x} - 6)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{x} - 6) = \ln ((e^{x} - 6) + 6)$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $(e^{x} - 6) + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Somma $- 6$ e $6$ .

$f (e^{x} - 6) = \ln (e^{x} + 0)$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$f (e^{x} - 6) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.3.4

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f (e^{x} - 6) = x \ln (e)$

Passaggio 5.3.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (e^{x} - 6) = x \cdot 1$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (e^{x} - 6) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = e^{x} - 6$ è l'inverso di $f (x) = \ln (x + 6)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x} - 6$