Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ come un'equazione.

$y = 2 x + \frac{1}{3}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 2 y + \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 y + \frac{1}{3} = x$ .

$2 y + \frac{1}{3} = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $\frac{1}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = x - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = x - \frac{1}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = x - \frac{1}{3}$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ è l'inverso di $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Per scrivere $2 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Passaggio 5.2.3.1.2

$2 x$ e $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3 + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Passaggio 5.2.3.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{6 x + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $\frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Moltiplica $\frac{6 x + 1}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{6} - \frac{1}{6}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1 - 1}{6}$

Passaggio 5.2.4.2

Combina i termini opposti in $6 x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 0}{6}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma $6 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{6}$ nel numeratore.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{6}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 (3)}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 3}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + \frac{- 1}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Somma $- \frac{1}{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ è l'inverso di $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$