Precalcolo Esempi

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ come un'equazione.

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ .

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

Passaggio 3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

Passaggio 3.2.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\ln (3 y + 6) = x$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (3 y + 6) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y + 6$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $3 y + 6 = e^{x}$ .

$3 y + 6 = e^{x}$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = e^{x} - 6$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = e^{x} - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = e^{x} - 6$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Dividi $- 6$ per $3$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ è l'inverso di $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

Passaggio 5.2.3

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

Passaggio 5.2.4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Passaggio 5.2.4.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Passaggio 5.2.4.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

Passaggio 5.2.4.1.5

Scomponi $3$ da $3 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.5.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

Passaggio 5.2.4.1.5.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

Passaggio 5.2.4.1.5.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Passaggio 5.2.4.2.2

Dividi $x + 2$ per $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

Passaggio 5.2.5

Combina i termini opposti in $x + 2 - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $\frac{e^{x}}{3}$ e $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

Passaggio 5.3.4

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Passaggio 5.3.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.3.6

Usa le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

Passaggio 5.3.7

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

Passaggio 5.3.8

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ è l'inverso di $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$