Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{2 x + 5}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{2 y + 5}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2 y + 5} = x$ .

$\frac{1}{2 y + 5} = x$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y + 5, 1$

Passaggio 3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$2 y + 5, 1$

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$2 y + 5$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $2 y + 5$ ciascun termine in $\frac{1}{2 y + 5} = x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{2 y + 5} = x$ per $2 y + 5$ .

$\frac{1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = x (2 y + 5)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = x (2 y) + x \cdot 5$

Passaggio 3.3.3.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 2 x y + x \cdot 5$

Passaggio 3.3.3.2.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$1 = 2 x y + 5 x$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $2 x y + 5 x = 1$ .

$2 x y + 5 x = 1$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $5 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y = 1 - 5 x$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x y = 1 - 5 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x y = 1 - 5 x$ .

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Passaggio 3.4.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Passaggio 3.4.3.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Passaggio 3.4.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5}{2}$

Passaggio 3.4.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x + 5})} - \frac{5}{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

$2$ e $\frac{1}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{1}{\frac{2}{2 x + 5}} - \frac{5}{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = 1 (\frac{2 x + 5}{2}) - \frac{5}{2}$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $\frac{2 x + 5}{2}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5}{2} - \frac{5}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Combina i termini opposti in $2 x + 5 - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) + 5}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 (x)}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Passaggio 5.3.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} - 5 + 5}$

Passaggio 5.3.3.4

Somma $- 5$ e $5$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Passaggio 5.3.3.5

Somma $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = 1 x$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$