Precalcolo Esempi

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ come un'equazione.

$y = 3^{x + 1} - 2$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 3^{y + 1} - 2$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $3^{y + 1} - 2 = x$ .

$3^{y + 1} - 2 = x$

Passaggio 3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3^{y + 1} = x + 2$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3^{y + 1}) = \ln (x + 2)$

Passaggio 3.4

Espandi $\ln (3^{y + 1})$ spostando $y + 1$ fuori dal logaritmo.

$(y + 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

Passaggio 3.5

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.1

Semplifica $(y + 1) \ln (3)$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $\ln (3)$ per $1$ .

$y \ln (3) + \ln (3) = \ln (x + 2)$

Passaggio 3.6

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$y \ln (3) + \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

Passaggio 3.7

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (3) + \ln (\frac{3}{x + 2}) = 0$

Passaggio 3.8

Sottrai $\ln (\frac{3}{x + 2})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$

Passaggio 3.9

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ e semplifica.

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Passaggio 3.9.1

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Passaggio 3.9.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.9.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

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Passaggio 3.9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Passaggio 3.9.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Passaggio 3.9.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.9.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ è l'inverso di $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (3^{x + 1} - 2)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{(3^{x + 1} - 2) + 2})}{\ln (3)}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.3.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1} + 0})}{\ln (3)}$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $3^{x + 1}$ e $0$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1}})}{\ln (3)}$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{(- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) + 1} - 2$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)} + \frac{\ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Passaggio 5.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{\frac{- \ln (\frac{3}{x + 2}) + \ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ è l'inverso di $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$