Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$ come un'equazione.

$y = \frac{4 x}{x + 5}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{4 y}{y + 5}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{4 y}{y + 5} = x$ .

$\frac{4 y}{y + 5} = x$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y + 5, 1$

Passaggio 3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y + 5, 1$

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y + 5$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $y + 5$ ciascun termine in $\frac{4 y}{y + 5} = x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{4 y}{y + 5} = x$ per $y + 5$ .

$\frac{4 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 y = x (y + 5)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 y = x y + x \cdot 5$

Passaggio 3.3.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$4 y = x y + 5 x$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y - x y = 5 x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $4 y - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $y$ da $4 y$ .

$y \cdot 4 - x y = 5 x$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $y$ da $- x y$ .

$y \cdot 4 + y (- x) = 5 x$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 4 + y (- x)$ .

$y (4 - x) = 5 x$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $4 - x$ ciascun termine in $y (4 - x) = 5 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $4 - x$ ciascun termine in $y (4 - x) = 5 x$ .

$\frac{y (4 - x)}{4 - x} = \frac{5 x}{4 - x}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (4 - x)}{4 - x} = \frac{5 x}{4 - x}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{5 x}{4 - x}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{4 x}{x + 5})}{4 - (\frac{4 x}{x + 5})}$

Passaggio 5.2.3

$5$ e $\frac{4 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{4 - \frac{4 x}{x + 5}}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (x + 5)}{x + 5} - \frac{4 x}{x + 5}}$

Passaggio 5.2.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (x + 5) - 4 x}{x + 5}}$

Passaggio 5.2.4.3

Riordina i termini.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{- 4 x + 4 (x + 5)}{x + 5}}$

Passaggio 5.2.4.4

Riscrivi $\frac{- 4 x + 4 (x + 5)}{x + 5}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Scomponi $4$ da $- 4 x + 4 (x + 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (- x) + 4 (x + 5)}{x + 5}}$

Passaggio 5.2.4.4.1.2

Scomponi $4$ da $4 (- x) + 4 (x + 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (- x + x + 5)}{x + 5}}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Somma $- x$ e $x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (0 + 5)}{x + 5}}$

Passaggio 5.2.4.4.3

Somma $0$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 \cdot 5}{x + 5}}$

Passaggio 5.2.4.5

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{20}{x + 5}}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $5$ per $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{20 x}{x + 5}}{\frac{20}{x + 5}}$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{20 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{20}$

Passaggio 5.2.7

Elimina il fattore comune di $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Scomponi $20$ da $20 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{20 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{20}$

Passaggio 5.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{20 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{20}$

Passaggio 5.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Passaggio 5.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{5 x}{4 - x})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{4 (\frac{5 x}{4 - x})}{(\frac{5 x}{4 - x}) + 5}$

Passaggio 5.3.3

$4$ e $\frac{5 x}{4 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x}{4 - x} + 5}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x}{4 - x} + \frac{5 (4 - x)}{4 - x}}$

Passaggio 5.3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x + 5 (4 - x)}{4 - x}}$

Passaggio 5.3.4.3

Riordina i termini.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x + 5 (4 - x)}{- x + 4}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riscrivi $\frac{5 x + 5 (4 - x)}{- x + 4}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Scomponi $5$ da $5 x + 5 (4 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 (x) + 5 (4 - x)}{- x + 4}}$

Passaggio 5.3.4.4.1.2

Scomponi $5$ da $5 (x) + 5 (4 - x)$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 (x + 4 - x)}{- x + 4}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 (0 + 4)}{- x + 4}}$

Passaggio 5.3.4.4.3

Somma $0$ e $4$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 \cdot 4}{- x + 4}}$

Passaggio 5.3.4.5

Moltiplica $5$ per $4$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{20}{- x + 4}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{20 x}{4 - x}}{\frac{20}{- x + 4}}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{20 x}{4 - x} \cdot \frac{- x + 4}{20}$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Scomponi $20$ da $20 x$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{20 (x)}{4 - x} \cdot \frac{- x + 4}{20}$

Passaggio 5.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{20 x}{4 - x} \cdot \frac{- x + 4}{20}$

Passaggio 5.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x}{4 - x} \cdot (- x + 4)$

Passaggio 5.3.8

Moltiplica $\frac{x}{4 - x}$ per $- x + 4$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x (- x + 4)}{4 - x}$

Passaggio 5.3.9

Elimina il fattore comune di $- x + 4$ e $4 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Riordina i termini.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x (- x + 4)}{- x + 4}$

Passaggio 5.3.9.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x (- x + 4)}{- x + 4}$

Passaggio 5.3.9.3

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$