Precalcolo Esempi

$f (x) = 8 x^{3} - 5$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 8 x^{3} - 5$ come un'equazione.

$y = 8 x^{3} - 5$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 8 y^{3} - 5$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $8 y^{3} - 5 = x$ .

$8 y^{3} - 5 = x$

Passaggio 3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 y^{3} = x + 5$

Passaggio 3.3

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y^{3} = x + 5$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y^{3} = x + 5$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{8}}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{8}}$ .

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Passaggio 3.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 5}{8}}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $\frac{x + 5}{8}$ come ${(\frac{1}{2})}^{3} (x + 5)$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{3}$ su $x + 5$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x + 5)}{8}}$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{3}$ su $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x + 5)}{2^{3} \cdot 1}}$

Passaggio 3.5.2.3

Riordina la frazione $\frac{1^{3} (x + 5)}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (x + 5)}$

Passaggio 3.5.3

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x + 5}$

Passaggio 3.5.4

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt[3]{x + 5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = 8 x^{3} - 5$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (8 x^{3} - 5)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{(8 x^{3} - 5) + 5}}{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $8 x^{3}$ e $0$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi $8 x^{3}$ come ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Passaggio 5.2.3.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2})}^{3} - 5$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x + 5}}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi ${\sqrt[3]{x + 5}}^{3}$ come $x + 5$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x + 5}$ come ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Passaggio 5.3.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 5$

Passaggio 5.3.3.2.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Passaggio 5.3.3.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Passaggio 5.3.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{2^{3}}) - 5$

Passaggio 5.3.3.2.5

Semplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{2^{3}}) - 5$

Passaggio 5.3.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{8}) - 5$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 5.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{8}) - 5$

Passaggio 5.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x + 5 - 5$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x + 5 - 5$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = 8 x^{3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$