Precalcolo Esempi

$f (x) = - 4 x^{2} + 1$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ come un'equazione.

$y = - 4 x^{2} + 1$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = - 4 y^{2} + 1$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 y^{2} + 1 = x$ .

$- 4 y^{2} + 1 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y^{2} = x - 1$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 y^{2} = x - 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 y^{2} = x - 1$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{4} + \frac{1}{4}}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{x}{4} + \frac{1}{4}}$ .

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Passaggio 3.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 1}{4}}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $\frac{- x + 1}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} (- x + 1)$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $- x + 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 1)}{4}}$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 1)}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.5.2.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (- x + 1)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- x + 1)}$

Passaggio 3.5.3

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x + 1}$

Passaggio 3.5.4

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{- x + 1}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 1]$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- x + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- x + 1 \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 1$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x \leq 1$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 1]$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ è l'intervallo di $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ è il dominio di $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Passaggio 6