Precalcolo Esempi

$f (x) = - \sqrt{x + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ come un'equazione.

$y = - \sqrt{x + 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = - \sqrt{y + 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $- \sqrt{y + 1} = x$ .

$- \sqrt{y + 1} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sqrt{y + 1} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sqrt{y + 1} = x$ .

$\frac{- \sqrt{y + 1}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sqrt{y + 1}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Dividi $\sqrt{y + 1}$ per $1$ .

$\sqrt{y + 1} = \frac{x}{- 1}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 1} = - 1 \cdot x$

Passaggio 3.2.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot x$ come $- x$ .

$\sqrt{y + 1} = - x$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y + 1}$ come ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 1)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica.

$y + 1 = {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(- x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$y + 1 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Passaggio 3.4.3.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y + 1 = 1 x^{2}$

Passaggio 3.4.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y + 1 = x^{2}$

Passaggio 3.5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{2} - 1$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ è l'inverso di $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (- \sqrt{x + 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- \sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Passaggio 5.2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = 1 {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ per $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Passaggio 5.2.3.4

Riscrivi ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ come $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

Passaggio 5.2.3.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

Passaggio 5.2.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Passaggio 5.2.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Passaggio 5.2.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Passaggio 5.2.3.4.5

Semplifica.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (x^{2} - 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

Passaggio 5.3.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

Passaggio 5.3.4

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (x^{2} - 1) = - x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ è l'inverso di $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$