Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 8 x$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = x^{2} + 8 x$ come un'equazione.

$y = x^{2} + 8 x$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = y^{2} + 8 y$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $y^{2} + 8 y = x$ .

$y^{2} + 8 y = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + 8 y - x = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 8$ e $c = - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $4$ da $64 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.3.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.4

Riscrivi $4 (16 + x)$ come $2^{2} (4^{2} + x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Scomponi $4$ da $64 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.3.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi $4 (16 + x)$ come $2^{2} (4^{2} + x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Passaggio 3.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = - 4 + \sqrt{16 + x}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3

Scomponi $4$ da $64 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.3.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4

Riscrivi $4 (16 + x)$ come $2^{2} (4^{2} + x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = - 4 - \sqrt{16 + x}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = - 4 - \sqrt{16 + x}$

$y = - 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = - 4 - \sqrt{16 + x}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ è l'inverso di $f (x) = x^{2} + 8 x$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = x^{2} + 8 x$ e $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = x^{2} + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 16, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $- 4 + \sqrt{16 + x}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{16 + x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$16 + x \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $16$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 16$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 16, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = x^{2} + 8 x$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ è l'intervallo di $f (x) = x^{2} + 8 x$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ è il dominio di $f (x) = x^{2} + 8 x$ , allora $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ è l'inverso di $f (x) = x^{2} + 8 x$ .

$f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$

Passaggio 6