Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ come un'equazione.

$y = \frac{x + 3}{x - 2}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y + 3}{y - 2}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y - 2$ .

$(y - 2) (x) = (\frac{y + 3}{y - 2}) (y - 2)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x - 2 x = (\frac{y + 3}{y - 2}) (y - 2)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y x - 2 x = \frac{y + 3}{y - 2} (y - 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y x - 2 x = y + 3$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x - 2 x - y = 3$

Passaggio 3.4.2

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x - y = 3 + 2 x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) - y = 3 + 2 x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 3 + 2 x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 3 + 2 x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = 3 + 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = 3 + 2 x$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2})}{(\frac{x + 3}{x - 2}) - 1}$

Passaggio 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $\frac{3 + 2 \frac{x + 3}{x - 2}}{\frac{x + 3}{x - 2} - 1}$ per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2})}{\frac{x + 3}{x - 2} - 1}$

Passaggio 5.2.3.2

Combina.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 3}{x - 2} - 1)}$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 3}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 3}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Scomponi $x - 2$ da $(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) \cdot 2 \frac{x + 3}{x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1.1

Scomponi $x - 2$ da $(x - 2) \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3) + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.1.2

Scomponi $x - 2$ da $(x - 2) (3) + (x - 2) (2 \frac{x + 3}{x - 2})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.2

$2$ e $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3 + \frac{2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.3

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 (x - 2)}{x - 2} + \frac{2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 (x - 2) + 2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5

Riscrivi $\frac{3 (x - 2) + 2 (x + 3)}{x - 2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 3 \cdot - 2 + 2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 6 + 2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 6 + 2 x + 2 \cdot 3}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 6 + 2 x + 6}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5.5

Somma $3 x$ e $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 6 + 6}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5.6

Somma $- 6$ e $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x + 0}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5.7

Somma $5 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 + x \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.7.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 - 1 \cdot x - 2 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.7.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 - 1 \cdot x + 2}$

Passaggio 5.2.7.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 - x + 2}$

Passaggio 5.2.7.5

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{0 + 3 + 2}$

Passaggio 5.2.7.6

Somma $0$ e $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{3 + 2}$

Passaggio 5.2.7.7

Somma $3$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{5}$

Passaggio 5.2.8

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Scomponi $\frac{5 x}{x - 2}$ da $\frac{(x - 2) \frac{5 x}{x - 2}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{5 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{5}$

Passaggio 5.2.8.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.2.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{5 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{5}$

Passaggio 5.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{5 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{5}$

Passaggio 5.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 5.2.8.3

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 5.2.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{3 + 2 x}{x - 1})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + 3}{(\frac{3 + 2 x}{x - 1}) - 2}$

Passaggio 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $\frac{\frac{3 + 2 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 2 x}{x - 1} - 2}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3 + 2 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 2 x}{x - 1} - 2}$

Passaggio 5.3.3.2

Combina.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1} + 3)}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1} - 2)}$

Passaggio 5.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.5.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + (x - 1) \cdot 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + x \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + 3 \cdot x - 1 \cdot 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + 3 \cdot x - 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.4

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{2 x + 3 x + 0}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.5

Somma $2 x + 3 x$ e $0$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{2 x + 3 x}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.6

Somma $2 x$ e $3 x$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.7.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.7.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x - 2 \cdot x + 2}$

Passaggio 5.3.7.4

Somma $3$ e $2$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 x - 2 x + 5}$

Passaggio 5.3.7.5

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{0 + 5}$

Passaggio 5.3.7.6

Somma $0$ e $5$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 5.3.8.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$