Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ come un'equazione.

$y = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{6 y}{3 y - 5}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $3 y - 5$ .

$(3 y - 5) (x) = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y x - 5 x = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $3 y - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 y x - 5 x = \frac{6 y}{3 y - 5} (3 y - 5)$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 y x - 5 x = 6 y$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $6 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y x - 5 x - 6 y = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $5 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y x - 6 y = 5 x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $3 y$ da $3 y x - 6 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $3 y$ da $3 y x$ .

$3 y (x) - 6 y = 5 x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $3 y$ da $- 6 y$ .

$3 y (x) + 3 y (- 2) = 5 x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $3 y$ da $3 y (x) + 3 y (- 2)$ .

$3 y (x - 2) = 5 x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $3 (x - 2)$ ciascun termine in $3 y (x - 2) = 5 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $3 (x - 2)$ ciascun termine in $3 y (x - 2) = 5 x$ .

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Passaggio 3.4.4.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{5 (\frac{6 x}{3 x - 5})}{3 ((\frac{6 x}{3 x - 5}) - 2)}$

Passaggio 5.2.3

$5$ e $\frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2)}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2 \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.4.2

$- 2$ e $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} + \frac{- 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.4.4

Riscrivi $\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Scomponi $2$ da $6 x - 2 (3 x - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.4.4.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 (3 x - 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.4.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x) + 5)}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.4.4.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.4.4.4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.4.4.5

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (0 + 5)}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.4.4.6

Somma $0$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 \cdot 5}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.4.5

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $5$ per $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Passaggio 5.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

$3$ e $\frac{10}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{3 \cdot 10}{3 x - 5}}$

Passaggio 5.2.6.2

Moltiplica $3$ per $10$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{30}{3 x - 5}}$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Scomponi $30$ da $30 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 (x)}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Passaggio 5.2.8.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Passaggio 5.2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Passaggio 5.2.9

Elimina il fattore comune di $3 x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Passaggio 5.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{5 x}{3 (x - 2)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5 x}{3 (x - 2)})}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Passaggio 5.3.3

$6$ e $\frac{5 x}{3 (x - 2)}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Passaggio 5.3.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5}$

Passaggio 5.3.4.2

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.3

$- 5$ e $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.5

Riscrivi $\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.5.1

Scomponi $5$ da $5 x - 5 (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.5.1.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.5.1.2

Scomponi $5$ da $- 5 (x - 2)$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.5.1.3

Scomponi $5$ da $5 (x) + 5 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.5.4

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (0 + 2)}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.5.5

Somma $0$ e $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 \cdot 2}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.6

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $6$ per $5$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{30 x}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.6

Riduci l'espressione $\frac{30 x}{3 (x - 2)}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $3$ da $30 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10 x}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Scomponi $10$ da $10 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Passaggio 5.3.8.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Passaggio 5.3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 5.3.9

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 5.3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$