Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Passaggio 1

Imposta $2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$ uguale a $0$ .

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- x$ da $- x^{3} - 25 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $- x$ da $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $- x$ da $- 25 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $- x$ da $- x (x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Passaggio 2.1.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ e la cui somma è $b = 49$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1

Scomponi $49$ da $49 u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2

Riscrivi $49$ come $- 1$ più $50$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

Passaggio 2.1.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Passaggio 2.1.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

Passaggio 2.1.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

Passaggio 2.1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $x^{2} + 25$ da $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Scomponi $x^{2} + 25$ da $- x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Scomponi $x^{2} + 25$ da $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.1.7.3

Scomponi $x^{2} + 25$ da $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.1.8

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.1.9

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Riordina i termini.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Passaggio 2.1.9.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.2.1

Scomponi $- 1$ da $- u$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Passaggio 2.1.9.2.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Passaggio 2.1.9.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Passaggio 2.1.9.2.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Passaggio 2.1.9.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Passaggio 2.1.9.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Passaggio 2.1.9.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.10

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x^{2} + 25$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x^{2} + 25$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $x^{2} + 25 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 25$

Passaggio 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Riscrivi $- 25$ come $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (25)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Passaggio 2.3.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Passaggio 2.3.2.3.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 2.3.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 5$

Passaggio 2.3.2.3.6

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 5 i$

Passaggio 2.3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 5 i$

Passaggio 2.3.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 5 i$

Passaggio 2.3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 5 i, - 5 i$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 3