Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$ uguale a $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$x^{4} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 4^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 2.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 4) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 2.1.5.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 2.1.6

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{3}$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Scomponi $2 x$ da $- 6 x^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) - 4 x = 0$

Passaggio 2.1.6.3

Scomponi $2 x$ da $- 4 x$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

Passaggio 2.1.6.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

Passaggio 2.1.6.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2)$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 2 = 2$ e la cui somma è $b = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Passaggio 2.1.7.1.1.2

Riscrivi $- 3$ come $- 1$ più $- 2$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} + (- 1 - 2) x - 2) = 0$

Passaggio 2.1.7.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 1 x - 2 x - 2) = 0$

Passaggio 2.1.7.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x^{2} - 1 x) - 2 x - 2) = 0$

Passaggio 2.1.7.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (x (- x - 1) + 2 (- x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.7.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 1$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x - 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.8

Scomponi $x + 2$ da $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Scomponi $x + 2$ da $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.8.2

Scomponi $x + 2$ da $2 x (- x - 1) (x + 2)$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.8.3

Scomponi $x + 2$ da $(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1))$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.9

Espandi $(x^{2} + 4) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.10.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.10.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.10.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.10.3

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.11

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

Passaggio 2.1.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

Passaggio 2.1.13

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) - 2 x) = 0$

Passaggio 2.1.14

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.14.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.14.1.1

Sposta $x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - 2 x) = 0$

Passaggio 2.1.14.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x^{2}) - 2 x) = 0$

Passaggio 2.1.14.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x^{2} - 2 x) = 0$

Passaggio 2.1.15

Sottrai $2 x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x) = 0$

Passaggio 2.1.16

Sottrai $2 x$ da $4 x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Passaggio 2.1.17

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.17.1

Riscrivi $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.17.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.17.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 2) ((x^{3} - 4 x^{2}) + 2 x - 8) = 0$

Passaggio 2.1.17.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 2) (x^{2} (x - 4) + 2 (x - 4)) = 0$

Passaggio 2.1.17.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 4$ .

$(x + 2) ((x - 4) (x^{2} + 2)) = 0$

Passaggio 2.1.17.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} + 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 2$

Passaggio 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (2)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$ vera.

$x = - 2, 4, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Passaggio 3