Precalcolo Esempi

$2 x^{4} + 3 x^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$ , $x^{2} + y^{2} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 1 - y^{2}$

Passaggio 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1 - y^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica $\pm \sqrt{1 - y^{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Passaggio 4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Passaggio 4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Passaggio 4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Passaggio 5

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ nell'espressione.

$2 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Riscrivi ${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{4}$ come ${((1 + y) (1 - y))}^{2}$ .

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Passaggio 6.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ come ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{4}{2}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{1}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.2

Espandi $(1 + y) (1 - y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 {(1 (1 - y) + y (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 {(1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 {(1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$2 {(1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica $- y$ per $1$ .

$2 {(1 - y + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.3.1.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 {(1 - y + y + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 {(1 - y + y - y \cdot y)}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.3.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.5.1

Sposta $y$ .

$2 {(1 - y + y - (y \cdot y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.3.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 {(1 - y + y - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.3.2

Somma $- y$ e $y$ .

$2 {(1 + 0 - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.3.3

Somma $1$ e $0$ .

$2 {(1 - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.4

Riscrivi ${(1 - y^{2})}^{2}$ come $(1 - y^{2}) (1 - y^{2})$ .

$2 ((1 - y^{2}) (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.5

Espandi $(1 - y^{2}) (1 - y^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (1 (1 - y^{2}) - y^{2} (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (1 \cdot 1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (1 \cdot 1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$2 (1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.6.1.2

Moltiplica $- y^{2}$ per $1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.6.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.6.1.5

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.5.1

Sposta $y^{2}$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.6.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.6.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} + 1 y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.6.1.7

Moltiplica $y^{4}$ per $1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} + y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.6.2

Sottrai $y^{2}$ da $- y^{2}$ .

$2 (1 - 2 y^{2} + y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.7

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 y^{2}) + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 (- 2 y^{2}) + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.8.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.9

Riscrivi ${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{2}$ come $(1 + y) (1 - y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ come ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.9.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{1} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.9.5

Semplifica.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 ((1 + y) (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.10

Espandi $(1 + y) (1 - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 (1 - y) + y (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.11

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.11.1.2

Moltiplica $- y$ per $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.11.1.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.11.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - y \cdot y) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.11.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.1.5.1

Sposta $y$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - (y \cdot y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.11.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.11.2

Somma $- y$ e $y$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 + 0 - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.11.3

Somma $1$ e $0$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.12

Applica la proprietà distributiva.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 \cdot 1 + 3 (- y^{2})) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.13

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 + 3 (- y^{2})) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.14

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 - 3 y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.15

Applica la proprietà distributiva.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.16

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.16.1

Sposta $y^{2}$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 (y^{2} y^{2}) + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.16.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{2 + 2} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 6.16.3

Somma $2$ e $2$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 7

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Somma $- 4 y^{2}$ e $3 y^{2}$ .

$2 + 2 y^{4} - y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$

Passaggio 7.2

Combina i termini opposti in $2 + 2 y^{4} - y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4} + 0$

Passaggio 7.2.2

Somma $2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4}$ e $0$ .

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4}$

Passaggio 7.3

Sottrai $3 y^{4}$ da $2 y^{4}$ .

$2 - y^{4} + y^{4}$

Passaggio 7.4

Combina i termini opposti in $2 - y^{4} + y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Somma $- y^{4}$ e $y^{4}$ .

$2 + 0$

Passaggio 7.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$