Precalcolo Esempi

$x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(3)}^{3} - 7 {(3)}^{2} + 17 (3) - 15$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 - 7 {(3)}^{2} + 17 (3) - 15$

Passaggio 4.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$27 - 7 \cdot 9 + 17 (3) - 15$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 7$ per $9$ .

$27 - 63 + 17 (3) - 15$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $17$ per $3$ .

$27 - 63 + 51 - 15$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $63$ da $27$ .

$- 36 + 51 - 15$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 36$ e $51$ .

$15 - 15$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $15$ da $15$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere usato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15}{x - 3}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(3)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 7)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(- 12)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(17)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$	$- 12$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$	$- 12$
	$1$	$- 4$	$5$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(5)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(15)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 15)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$	$- 12$	$15$
	$1$	$- 4$	$5$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$	$- 12$	$15$
	$1$	$- 4$	$5$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + - 4 x + 5$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} - 4 x + 5$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 5$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.3

Sottrai $20$ da $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Passaggio 7.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.3

Sottrai $20$ da $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 7.4.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Passaggio 7.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + i$

Passaggio 7.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.5.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Passaggio 7.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.3

Sottrai $20$ da $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 7.5.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Passaggio 7.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - i$

Passaggio 7.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 2 + i, 2 - i$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x - 3) (x - 2 - i) (x - 2 + i)$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$ .

$x = 3, 2 + i, 2 - i$

Passaggio 10