Precalcolo Esempi

$x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(1)}^{5} - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 1 \cdot 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 - 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Passaggio 4.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 1 - 1 \cdot 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 - 1 - 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Passaggio 4.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 \cdot 1 + 12$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 + 12$

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 + 12$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$0 - 1 + 1 - 12 + 12$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1 + 1 - 12 + 12$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$0 - 12 + 12$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $12$ da $0$ .

$- 12 + 12$

Passaggio 4.2.5

Somma $- 12$ e $12$ .

$0$

$0$

$0$

Passaggio 5

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12}{x - 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

Passaggio 6.11

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 12)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 12)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

Passaggio 6.12

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$	$0$

Passaggio 6.13

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{4} + 0 x^{3} - 1 x^{2} + 0 x - 12$

Passaggio 6.14

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{4} - x^{2} - 12$

$x^{4} - x^{2} - 12$

Passaggio 7

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 1) {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12$

Passaggio 8

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$(x - 1) u^{2} - u - 12$

Passaggio 9

Scomponi $u^{2} - u - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 4, 3$

Passaggio 9.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) + (u - 4) (u + 3)$

$(x - 1) (u - 4) (u + 3)$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} + 3)$

Passaggio 11

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)$

Passaggio 12

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 1) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$

Passaggio 13

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 13.1

Raggruppa i termini.

$x^{5} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.2

Scomponi $x$ da $x^{5} - x^{3} - 12 x$ .

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Passaggio 13.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.2.2

Scomponi $x$ da $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.2.3

Scomponi $x$ da $- 12 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.2.5

Scomponi $x$ da $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

$x (x^{4} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$x (u^{2} - u - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.5

Scomponi $u^{2} - u - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 13.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 4, 3$

Passaggio 13.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$x ((u - 4) (u + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

$x ((u - 4) (u + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.8

Scomponi.

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Passaggio 13.8.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.8.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.9

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - {(x^{2})}^{2} + x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 13.10

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + u + 12 = 0$

Passaggio 13.11

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 13.11.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 13.11.1.1

Moltiplica per $1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + 1 u + 12 = 0$

Passaggio 13.11.1.2

Riscrivi $1$ come $- 3$ più $4$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + (- 3 + 4) u + 12 = 0$

Passaggio 13.11.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

Passaggio 13.11.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 13.11.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

Passaggio 13.11.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + u (- u - 3) - 4 (- u - 3) = 0$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + u (- u - 3) - 4 (- u - 3) = 0$

Passaggio 13.11.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u - 3$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- u - 3) (u - 4) = 0$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- u - 3) (u - 4) = 0$

Passaggio 13.12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 13.13

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 13.14

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.14.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 13.14.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 13.15

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.15.1

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 13.15.2

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $(- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 13.15.3

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 13.16

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 13.17

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.17.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 13.17.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 13.17.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 13.17.2

Somma $1$ e $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 13.18

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + 3 x - x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 13.19

Riordina i termini.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Passaggio 13.20

Scomponi.

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Passaggio 13.20.1

Riscrivi $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.20.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.20.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - x^{2}) + 3 x - 3) = 0$

Passaggio 13.20.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

Passaggio 13.20.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Passaggio 13.20.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

Passaggio 14

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 15

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 15.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

$x = - 2$

Passaggio 16

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 16.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

$x = 2$

Passaggio 17

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 17.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

$x = 1$

Passaggio 18

Imposta $x^{2} + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Imposta $x^{2} + 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 18.2

Risolvi $x^{2} + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 3$

Passaggio 18.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 18.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Passaggio 18.2.3.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 18.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 18.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

$x = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 18.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{3}$

Passaggio 18.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{3}$

Passaggio 18.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 19

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ vera.

$x = - 2, 2, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 20

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$