Precalcolo Esempi

$x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x - 4$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(2)}^{4} - 6 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 24 (2) - 4$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 6 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 24 (2) - 4$

Passaggio 4.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$16 - 6 \cdot 8 - 3 {(2)}^{2} + 24 (2) - 4$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 6$ per $8$ .

$16 - 48 - 3 {(2)}^{2} + 24 (2) - 4$

Passaggio 4.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 48 - 3 \cdot 4 + 24 (2) - 4$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$16 - 48 - 12 + 24 (2) - 4$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $24$ per $2$ .

$16 - 48 - 12 + 48 - 4$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $48$ da $16$ .

$- 32 - 12 + 48 - 4$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $12$ da $- 32$ .

$- 44 + 48 - 4$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 44$ e $48$ .

$4 - 4$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere usato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x - 4}{x - 2}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 6)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(- 8)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 3)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 11$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 11)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(- 22)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(24)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$	$- 8$	$- 22$
	$1$	$- 4$	$- 11$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$	$- 8$	$- 22$
	$1$	$- 4$	$- 11$	$2$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$	$- 8$	$- 22$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 11$	$2$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$	$- 8$	$- 22$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 11$	$2$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 11) x + 2$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 2$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 2$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 7.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 7.1.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 11 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 7.1.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 11 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 7.1.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 7.1.3.4

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$- 8 - 16 - 11 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 7.1.3.5

Sottrai $16$ da $- 8$ .

$- 24 - 11 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 7.1.3.6

Moltiplica $- 11$ per $- 2$ .

$- 24 + 22 + 2$

Passaggio 7.1.3.7

Somma $- 24$ e $22$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 7.1.3.8

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 7.1.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 2}{x + 2}$

Passaggio 7.1.5

Dividi $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 2$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$2$

Passaggio 7.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$

Passaggio 7.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 7.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 7.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Passaggio 7.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$

Passaggio 7.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$

Passaggio 7.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Passaggio 7.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 7.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$x$

Passaggio 7.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$x$	+	$2$

Passaggio 7.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$x$	+	$2$

Passaggio 7.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$x$	+	$2$
							+	$x$	+	$2$

Passaggio 7.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 2$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$x$	+	$2$
							-	$x$	-	$2$

Passaggio 7.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$x$	+	$2$
							-	$x$	-	$2$
										$0$

Passaggio 7.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 6 x + 1$

Passaggio 7.1.6

Scrivi $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 2$ come insieme di fattori.

$(x + 2) (x^{2} - 6 x + 1) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 7.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 7.4

Imposta $x^{2} - 6 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta $x^{2} - 6 x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Passaggio 7.4.2

Risolvi $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.4.2.3.3

Semplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7.4.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.4.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.4.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.4.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.4.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.4.2.4.3

Semplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7.4.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 3 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7.4.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.5.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.5.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.5.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.5.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.4.2.5.3

Semplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7.4.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7.4.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x^{2} - 6 x + 1) = 0$ vera.

$x = - 2, 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x - 2) (x + 2) (x - 3 - 2 \sqrt{2}) (x - 3 + 2 \sqrt{2})$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x - 4$ .

$x = 2, - 2, 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 2, - 2, 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

Forma decimale:

$x = 2, - 2, 5.82842712 \dots, 0.17157287 \dots$

Passaggio 11