Precalcolo Esempi

$x^{4} + 40 x^{2} - 441$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 49, \pm 63, \pm 147, \pm 441$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 49, \pm 63, \pm 147, \pm 441$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(3)}^{4} + 40 {(3)}^{2} - 441$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$81 + 40 {(3)}^{2} - 441$

Passaggio 4.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$81 + 40 \cdot 9 - 441$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $40$ per $9$ .

$81 + 360 - 441$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Somma $81$ e $360$ .

$441 - 441$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $441$ da $441$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} + 40 x^{2} - 441}{x - 3}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(3)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$
	$1$	$3$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(9)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(40)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$49$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(49)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(147)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$
	$1$	$3$	$49$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$
	$1$	$3$	$49$	$147$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(147)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(441)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 441)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$	$441$
	$1$	$3$	$49$	$147$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$	$441$
	$1$	$3$	$49$	$147$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (49) x + 147$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} + 3 x^{2} + 49 x + 147$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2}) + 49 x + 147$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 3) + x^{2} (x + 3) + 49 (x + 3)$

$(x - 3) x^{2} (x + 3) + 49 (x + 3)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 3$ .

$(x - 3) (x + 3) (x^{2} + 49)$

Passaggio 9

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} + 40 u - 441 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 10

Scomponi $u^{2} + 40 u - 441$ usando il metodo AC.

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Passaggio 10.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 441$ e la cui somma è $40$ .

$- 9, 49$

Passaggio 10.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 9) (u + 49) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 9 = 0$

$u + 49 = 0$

Passaggio 12

Imposta $u - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $u - 9$ uguale a $0$ .

$u - 9 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 9$

Passaggio 13

Imposta $u + 49$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $u + 49$ uguale a $0$ .

$u + 49 = 0$

Passaggio 13.2

Sottrai $49$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 49$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 9) (u + 49) = 0$ vera.

$u = 9, - 49$

Passaggio 15

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = - 49$

Passaggio 16

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = 9$

Passaggio 17

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 17.2

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Passaggio 17.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 17.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 17.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 17.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 17.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 17.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 18

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 49$

Passaggio 19

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 19.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = - 49$

Passaggio 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Passaggio 19.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 49}$ .

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Passaggio 19.3.1

Riscrivi $- 49$ come $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Passaggio 19.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (49)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Passaggio 19.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Passaggio 19.3.4

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Passaggio 19.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 7$

Passaggio 19.3.6

Sposta $7$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 7 i$

Passaggio 19.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 19.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 7 i$

Passaggio 19.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 7 i$

Passaggio 19.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 7 i, - 7 i$

Passaggio 20

La soluzione di $x^{4} + 40 x^{2} - 441 = 0$ è $x = 3, - 3, 7 i, - 7 i$ .

$x = 3, - 3, 7 i, - 7 i$

Passaggio 21