Precalcolo Esempi

$x^{4} + 4 x^{2}$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$0$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(0)}^{4} + 4 {(0)}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 0$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 4 {(0)}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 4 \cdot 0$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $0$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 0$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} + 4 x^{2}}{x + 0}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(4)$ .

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$	$0$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$	$0$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (4) x + 0$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} + 4 x$

Passaggio 7

Scomponi $x$ da $x^{3} + 4 x$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + 4 x)$

Passaggio 7.2

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot 4)$

Passaggio 7.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + 4))$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} = 0$

Passaggio 8.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$u^{2} + 4 u = 0$

Passaggio 8.3

Scomponi $u$ da $u^{2} + 4 u$ .

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Passaggio 8.3.1

Scomponi $u$ da $u^{2}$ .

$u \cdot u + 4 u = 0$

Passaggio 8.3.2

Scomponi $u$ da $4 u$ .

$u \cdot u + u \cdot 4 = 0$

Passaggio 8.3.3

Scomponi $u$ da $u \cdot u + u \cdot 4$ .

$u (u + 4) = 0$

Passaggio 8.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 10

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 10.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 10.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 10.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 10.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 11

Imposta $x^{2} + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x^{2} + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $x^{2} + 4 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 4$

Passaggio 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 11.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Passaggio 11.2.3.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 11.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 11.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 11.2.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 11.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 2$

Passaggio 11.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i$

Passaggio 11.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i$

Passaggio 11.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i$

Passaggio 11.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i, - 2 i$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (x^{2} + 4) = 0$ vera.

$x = 0, 2 i, - 2 i$

Passaggio 13