Precalcolo Esempi

$x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 36$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(3)}^{3} + 4 {(3)}^{2} - 9 \cdot 3 - 36$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 + 4 {(3)}^{2} - 9 \cdot 3 - 36$

Passaggio 4.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$27 + 4 \cdot 9 - 9 \cdot 3 - 36$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $4$ per $9$ .

$27 + 36 - 9 \cdot 3 - 36$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$27 + 36 - 27 - 36$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Somma $27$ e $36$ .

$63 - 27 - 36$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $27$ da $63$ .

$36 - 36$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $36$ da $36$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 36}{x - 3}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(3)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(4)$ .

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$
	$1$	$7$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(7)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(21)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 9)$ .

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$	$21$
	$1$	$7$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$	$21$
	$1$	$7$	$12$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(12)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(36)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 36)$ .

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$	$21$	$36$
	$1$	$7$	$12$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$	$21$	$36$
	$1$	$7$	$12$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + 7 x + 12$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} + 7 x + 12$

Passaggio 7

Scomponi $x^{2} + 7 x + 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $7$ .

$3, 4$

Passaggio 7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 3) + (x + 3) (x + 4)$

$(x - 3) (x + 3) (x + 4)$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} + 4 x^{2}) - 9 x - 36 = 0$

Passaggio 8.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x + 4) - 9 (x + 4) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 8.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$(x + 4) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Passaggio 8.4

Scomponi.

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Passaggio 8.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$(x + 4) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Passaggio 8.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 10

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 11

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 11.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 12

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$ vera.

$x = - 4, - 3, 3$

Passaggio 14