Precalcolo Esempi

$2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$2 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 2$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - 2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot - 8 + 6 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 2$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$- 16 + 6 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 2$

Passaggio 4.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 16 + 6 \cdot 4 + 5 (- 2) + 2$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $6$ per $4$ .

$- 16 + 24 + 5 (- 2) + 2$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$- 16 + 24 - 10 + 2$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Somma $- 16$ e $24$ .

$8 - 10 + 2$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $10$ da $8$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere usato per trovare le restanti radici.

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2}{x + 2}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- 2)$ e posiziona il risultato di $(- 4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(6)$ .

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$
	$2$	$2$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- 2)$ e posiziona il risultato di $(- 4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(5)$ .

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$
	$2$	$2$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$
	$2$	$2$	$1$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 2)$ e posiziona il risultato di $(- 2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(2)$ .

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$	$- 2$
	$2$	$2$	$1$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$	$- 2$
	$2$	$2$	$1$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 2$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Passaggio 7.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

Passaggio 7.4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

Passaggio 7.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i}{2}$

Passaggio 7.4.5

Dividi la frazione $\frac{- 1 + i}{2}$ in due frazioni.

$x = \frac{- 1}{2} + \frac{i}{2}$

Passaggio 7.4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Passaggio 7.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Passaggio 7.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.5.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.5.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.5.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.5.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.5.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

Passaggio 7.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

Passaggio 7.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i}{2}$

Passaggio 7.5.5

Dividi la frazione $\frac{- 1 - i}{2}$ in due frazioni.

$x = \frac{- 1}{2} + \frac{- i}{2}$

Passaggio 7.5.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.5.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{- i}{2}$

Passaggio 7.5.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Passaggio 7.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x + 2) (x + \frac{1}{2} - \frac{i}{2}) (x + \frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2$ .

$x = - 2, - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Passaggio 10