Precalcolo Esempi

$2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 14 x + 8$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - \frac{1}{2}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$2 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ per $1$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 7 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1}{8}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.11

Moltiplica $- 7 (- \frac{1}{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$\frac{1}{8} + 7 (\frac{1}{8}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.11.2

$7$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.12.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.12.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.14

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.15

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 \frac{1}{2^{2}} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.16

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 (\frac{1}{4}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.17

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 4.1.17.1

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + 4 (- 2) \frac{1}{4} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.17.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + 4 \cdot - 2 \frac{1}{4} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.17.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.18

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.18.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 14 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Passaggio 4.1.18.2

Scomponi $2$ da $14$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 2 (7) \frac{- 1}{2} + 8$

Passaggio 4.1.18.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 2 \cdot 7 \frac{- 1}{2} + 8$

Passaggio 4.1.18.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 7 \cdot - 1 + 8$

Passaggio 4.1.19

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 - 7 + 8$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2 - 7 + 8 + \frac{1 + 7}{8}$

Passaggio 4.2.2

Somma $1$ e $7$ .

$- 2 - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Passaggio 4.3

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Scrivi $- 2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 2}{1} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Passaggio 4.3.4

Scrivi $- 7$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7}{1} + 8 + \frac{8}{8}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $\frac{- 7}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{8}{8} + 8 + \frac{8}{8}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $\frac{- 7}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + 8 + \frac{8}{8}$

Passaggio 4.3.7

Scrivi $8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8}{1} + \frac{8}{8}$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $\frac{8}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{8}{8}$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $\frac{8}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8 \cdot 8}{8} + \frac{8}{8}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 \cdot 8 - 7 \cdot 8 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Passaggio 4.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$\frac{- 16 - 7 \cdot 8 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $- 7$ per $8$ .

$\frac{- 16 - 56 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $8$ per $8$ .

$\frac{- 16 - 56 + 64 + 8}{8}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Sottrai $56$ da $- 16$ .

$\frac{- 72 + 64 + 8}{8}$

Passaggio 4.6.2

Somma $- 72$ e $64$ .

$\frac{- 8 + 8}{8}$

Passaggio 4.6.3

Somma $- 8$ e $8$ .

$\frac{0}{8}$

Passaggio 4.6.4

Dividi $0$ per $8$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- \frac{1}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + \frac{1}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 14 x + 8}{x + \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- \frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 7)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$
	$2$	$- 8$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 8)$ per il divisore $(- \frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$
	$2$	$- 8$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$
	$2$	$- 8$	$- 4$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(- \frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(14)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$2$	$- 8$	$- 4$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(16)$ per il divisore $(- \frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 8)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{3} + - 8 x^{2} + (- 4) x + 16$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 16$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $2 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 16$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 8 x^{2} - 4 x + 16)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $- 8 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4 x + 16)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 16)$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $16$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 8)$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 x^{3} + 2 (- 4 x^{2})$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 8)$

Passaggio 7.6

Scomponi $2$ da $2 (x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 8)$

Passaggio 7.7

Scomponi $2$ da $2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 8$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8))$

Passaggio 8

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8))$

Passaggio 8.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)))$

Passaggio 9

Scomponi.

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Passaggio 9.1

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 4$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x - 4) (x^{2} - 2)))$

Passaggio 9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x - 4) (x^{2} - 2))$

Passaggio 10

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 10.1

Raggruppa i termini.

$- 7 x^{3} + 14 x + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 10.2

Scomponi $- 7 x$ da $- 7 x^{3} + 14 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $- 7 x$ da $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} + 14 x + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 10.2.2

Scomponi $- 7 x$ da $14 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 2 + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 10.2.3

Scomponi $- 7 x$ da $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 2)$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 10.3

Scomponi $2$ da $2 x^{4} - 8 x^{2} + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{4}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4}) - 8 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $2$ da $- 8 x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4}) + 2 (- 4 x^{2}) + 8 = 0$

Passaggio 10.3.3

Scomponi $2$ da $8$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 x^{4} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 \cdot 4 = 0$

Passaggio 10.3.4

Scomponi $2$ da $2 x^{4} + 2 (- 4 x^{2})$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4} - 4 x^{2}) + 2 \cdot 4 = 0$

Passaggio 10.3.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{4} - 4 x^{2}) + 2 \cdot 4$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 10.4

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 10.5

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 4 u + 4) = 0$

Passaggio 10.6

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 4 u + 2^{2}) = 0$

Passaggio 10.6.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Passaggio 10.6.3

Riscrivi il polinomio.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 10.6.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 2$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(u - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 10.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 10.8

Scomponi $x^{2} - 2$ da $- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.8.1

Scomponi $x^{2} - 2$ da $- 7 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 10.8.2

Scomponi $x^{2} - 2$ da $2 {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x) + (x^{2} - 2) (2 (x^{2} - 2)) = 0$

Passaggio 10.8.3

Scomponi $x^{2} - 2$ da $(x^{2} - 2) (- 7 x) + (x^{2} - 2) (2 (x^{2} - 2))$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 (x^{2} - 2)) = 0$

Passaggio 10.9

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 10.10

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 10.11

Riordina i termini.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Passaggio 10.12

Scomponi.

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Passaggio 10.12.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.12.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ e la cui somma è $b = - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.12.1.1.1

Scomponi $- 7$ da $- 7 x$ .

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Passaggio 10.12.1.1.2

Riscrivi $- 7$ come $1$ più $- 8$ .

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + (1 - 8) x - 4) = 0$

Passaggio 10.12.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + 1 x - 8 x - 4) = 0$

Passaggio 10.12.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + x - 8 x - 4) = 0$

Passaggio 10.12.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.12.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{2} - 2) ((2 x^{2} + x) - 8 x - 4) = 0$

Passaggio 10.12.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x^{2} - 2) (x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1)) = 0$

Passaggio 10.12.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$(x^{2} - 2) ((2 x + 1) (x - 4)) = 0$

Passaggio 10.12.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} - 2) (2 x + 1) (x - 4) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 12

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi $x^{2} - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 12.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 12.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 12.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 13

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 13.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 13.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 13.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 13.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 14

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 14.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 15

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} - 2) (2 x + 1) (x - 4) = 0$ vera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{2}, 4$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{2}, 4$

Forma decimale:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, - 0.5, 4$

Passaggio 17