Precalcolo Esempi

$2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 25, \pm 35, \pm 175$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm 175, \pm \frac{175}{2}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{4} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - \frac{1}{2}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$2 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ per $1$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \frac{1}{2^{4}} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + 7 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{8} + 7 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{8} + 7 (- \frac{1}{2^{3}}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{8} + 7 (- \frac{1}{8}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.11

Moltiplica $7 (- \frac{1}{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{1}{8} - 7 (\frac{1}{8}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.11.2

$- 7$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 7}{8} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.13.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.14

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.15

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 \frac{1}{2^{2}} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.17

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 (\frac{1}{4}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.18

$- 87$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} + \frac{- 87}{4} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - \frac{87}{4} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.20

Moltiplica $- 395 (- \frac{1}{2})$ .

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Passaggio 4.1.20.1

Moltiplica $- 1$ per $- 395$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - \frac{87}{4} + 395 (\frac{1}{2}) - 175$

Passaggio 4.1.20.2

$395$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - \frac{87}{4} + \frac{395}{2} - 175$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 175 + \frac{1 - 7}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $7$ da $1$ .

$- 175 + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Passaggio 4.3

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Scrivi $- 175$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 175}{1} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{- 175}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 175}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\frac{- 175}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $\frac{- 87}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{395}{2}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $\frac{- 87}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{395}{2}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $\frac{395}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{395}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $\frac{395}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{395 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.8

Riordina i fattori di $4 \cdot 2$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{395 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{8} + \frac{395 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.10

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{8} + \frac{395 \cdot 4}{8}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 175 \cdot 8 - 6 - 87 \cdot 2 + 395 \cdot 4}{8}$

Passaggio 4.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 175$ per $8$ .

$\frac{- 1400 - 6 - 87 \cdot 2 + 395 \cdot 4}{8}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $- 87$ per $2$ .

$\frac{- 1400 - 6 - 174 + 395 \cdot 4}{8}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $395$ per $4$ .

$\frac{- 1400 - 6 - 174 + 1580}{8}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Sottrai $6$ da $- 1400$ .

$\frac{- 1406 - 174 + 1580}{8}$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $174$ da $- 1406$ .

$\frac{- 1580 + 1580}{8}$

Passaggio 4.6.3

Somma $- 1580$ e $1580$ .

$\frac{0}{8}$

Passaggio 4.6.4

Dividi $0$ per $8$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- \frac{1}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + \frac{1}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175}{x + \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- \frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(7)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$
	$2$	$6$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(6)$ per il divisore $(- \frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 3)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 87)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$
	$2$	$6$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$
	$2$	$6$	$- 90$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 90)$ per il divisore $(- \frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(45)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 395)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$
	$2$	$6$	$- 90$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$
	$2$	$6$	$- 90$	$- 350$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 350)$ per il divisore $(- \frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(175)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 175)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$	$175$
	$2$	$6$	$- 90$	$- 350$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$	$175$
	$2$	$6$	$- 90$	$- 350$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{3} + 6 x^{2} + (- 90) x - 350$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{3} + 6 x^{2} - 90 x - 350$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $2 x^{3} + 6 x^{2} - 90 x - 350$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 6 x^{2} - 90 x - 350)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 90 x - 350)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $- 90 x$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 45 x) - 350)$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $- 350$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 45 x) + 2 \cdot - 175)$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 45 x) + 2 \cdot - 175)$

Passaggio 7.6

Scomponi $2$ da $2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 45 x)$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x) + 2 \cdot - 175)$

Passaggio 7.7

Scomponi $2$ da $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x) + 2 \cdot - 175$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175))$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Scomponi $2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 175, \pm 5, \pm 35, \pm 7, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 8.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 175, \pm 87.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 35, \pm 17.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 25, \pm 12.5$

Passaggio 8.1.3

Sostituisci $- 0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 8.1.3.1

Sostituisci $- 0.5$ nel polinomio.

$2 {(- 0.5)}^{4} + 7 {(- 0.5)}^{3} - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Passaggio 8.1.3.2

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $4$ .

$2 \cdot 0.0625 + 7 {(- 0.5)}^{3} - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $2$ per $0.0625$ .

$0.125 + 7 {(- 0.5)}^{3} - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Passaggio 8.1.3.4

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $3$ .

$0.125 + 7 \cdot - 0.125 - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Passaggio 8.1.3.5

Moltiplica $7$ per $- 0.125$ .

$0.125 - 0.875 - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Passaggio 8.1.3.6

Sottrai $0.875$ da $0.125$ .

$- 0.75 - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Passaggio 8.1.3.7

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $2$ .

$- 0.75 - 87 \cdot 0.25 - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Passaggio 8.1.3.8

Moltiplica $- 87$ per $0.25$ .

$- 0.75 - 21.75 - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Passaggio 8.1.3.9

Sottrai $21.75$ da $- 0.75$ .

$- 22.5 - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Passaggio 8.1.3.10

Moltiplica $- 395$ per $- 0.5$ .

$- 22.5 + 197.5 - 175$

Passaggio 8.1.3.11

Somma $- 22.5$ e $197.5$ .

$175 - 175$

Passaggio 8.1.3.12

Sottrai $175$ da $175$ .

$0$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175}{2 x + 1}$

Passaggio 8.1.5

Dividi $2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$ per $2 x + 1$ .

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Passaggio 8.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

Passaggio 8.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

Passaggio 8.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 8.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{4} + x^{3}$

				$x^{3}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$

Passaggio 8.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

Passaggio 8.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{3} + 3 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

Passaggio 8.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 90 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

Passaggio 8.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							-	$90 x^{2}$	-	$45 x$

Passaggio 8.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 90 x^{2} - 45 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

$90 x^{2}$

$45 x$

Passaggio 8.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

$90 x^{2}$

$45 x$

$350 x$

Passaggio 8.1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

$90 x^{2}$

$45 x$

$350 x$

$175$

Passaggio 8.1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 350 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$

Passaggio 8.1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$
									-	$350 x$	-	$175$

Passaggio 8.1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 350 x - 175$

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$
									+	$350 x$	+	$175$

Passaggio 8.1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$
									+	$350 x$	+	$175$
												$0$

Passaggio 8.1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$

Passaggio 8.1.6

Scrivi $2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$ come insieme di fattori.

$(2 x + 1) (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi $x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 175, \pm 5, \pm 35, \pm 7, \pm 25$

$q = \pm 1$

Passaggio 8.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 175, \pm 5, \pm 35, \pm 7, \pm 25$

Passaggio 8.2.3

Sostituisci $- 5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Sostituisci $- 5$ nel polinomio.

${(- 5)}^{3} + 3 {(- 5)}^{2} - 45 \cdot - 5 - 175$

Passaggio 8.2.3.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$- 125 + 3 {(- 5)}^{2} - 45 \cdot - 5 - 175$

Passaggio 8.2.3.3

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$- 125 + 3 \cdot 25 - 45 \cdot - 5 - 175$

Passaggio 8.2.3.4

Moltiplica $3$ per $25$ .

$- 125 + 75 - 45 \cdot - 5 - 175$

Passaggio 8.2.3.5

Somma $- 125$ e $75$ .

$- 50 - 45 \cdot - 5 - 175$

Passaggio 8.2.3.6

Moltiplica $- 45$ per $- 5$ .

$- 50 + 225 - 175$

Passaggio 8.2.3.7

Somma $- 50$ e $225$ .

$175 - 175$

Passaggio 8.2.3.8

Sottrai $175$ da $175$ .

$0$

Passaggio 8.2.4

Poiché $- 5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175}{x + 5}$

Passaggio 8.2.5

Dividi $x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$ per $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$175$

Passaggio 8.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$

Passaggio 8.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			+	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Passaggio 8.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Passaggio 8.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 8.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$

Passaggio 8.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$

Passaggio 8.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Passaggio 8.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} - 10 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Passaggio 8.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$

Passaggio 8.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$

Passaggio 8.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 35 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$

Passaggio 8.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$
							-	$35 x$	-	$175$

Passaggio 8.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 35 x - 175$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$
							+	$35 x$	+	$175$

Passaggio 8.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$
							+	$35 x$	+	$175$
										$0$

Passaggio 8.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x - 35$

Passaggio 8.2.6

Scrivi $x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$ come insieme di fattori.

$(2 x + 1) ((x + 5) (x^{2} - 2 x - 35)) = 0$

Passaggio 8.3

Scomponi $x^{2} - 2 x - 35$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 35$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 35$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 7, 5$

Passaggio 8.3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(2 x + 1) ((x + 5) ((x - 7) (x + 5))) = 0$

Passaggio 8.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x + 1) ((x + 5) (x - 7) (x + 5)) = 0$

Passaggio 8.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Eleva $x + 5$ alla potenza di $1$ .

$(2 x + 1) ((x + 5) (x + 5) (x - 7)) = 0$

Passaggio 8.4.1.2

Eleva $x + 5$ alla potenza di $1$ .

$(2 x + 1) ((x + 5) (x + 5) (x - 7)) = 0$

Passaggio 8.4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 x + 1) ({(x + 5)}^{1 + 1} (x - 7)) = 0$

Passaggio 8.4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$(2 x + 1) ({(x + 5)}^{2} (x - 7)) = 0$

Passaggio 8.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x + 1) {(x + 5)}^{2} (x - 7) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

Passaggio 10

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Imposta ${(x + 5)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta ${(x + 5)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi ${(x + 5)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Poni $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 12

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x + 1) {(x + 5)}^{2} (x - 7) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, - 5, 7$

Passaggio 14