Precalcolo Esempi

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 25, \pm 35, \pm 175$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}, \pm 7, \pm \frac{7}{3}, \pm 25, \pm \frac{25}{3}, \pm 35, \pm \frac{35}{3}, \pm 175, \pm \frac{175}{3}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$3 {(5)}^{3} - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$3 \cdot 125 - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $3$ per $125$ .

$375 - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

Passaggio 4.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$375 - 7 \cdot 25 - 75 \cdot 5 + 175$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 7$ per $25$ .

$375 - 175 - 75 \cdot 5 + 175$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 75$ per $5$ .

$375 - 175 - 375 + 175$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $175$ da $375$ .

$200 - 375 + 175$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $375$ da $200$ .

$- 175 + 175$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 175$ e $175$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175}{x - 5}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$

	$3$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(15)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 7)$ .

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$
	$3$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$
	$3$	$8$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(8)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(40)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 75)$ .

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$
	$3$	$8$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$
	$3$	$8$	$- 35$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 35)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(- 175)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(175)$ .

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$	$- 175$
	$3$	$8$	$- 35$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$	$- 175$
	$3$	$8$	$- 35$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 x^{2} + 8 x - 35$

Passaggio 7

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 7.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 35 = - 105$ e la cui somma è $b = 8$ .

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$(x - 5) + 3 x^{2} + 8 (x) - 35$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi $8$ come $- 7$ più $15$ .

$(x - 5) + 3 x^{2} + (- 7 + 15) x - 35$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 5) + 3 x^{2} - 7 x + 15 x - 35$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 5) (3 x^{2} - 7 x) + 15 x - 35$

Passaggio 7.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 5) + x (3 x - 7) + 5 (3 x - 7)$

Passaggio 7.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 7$ .

$(x - 5) + (3 x - 7) (x + 5)$

$(x - 5) (3 x - 7) (x + 5)$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{3} - 7 x^{2}) - 75 x + 175 = 0$

Passaggio 8.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (3 x - 7) - 25 (3 x - 7) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 7$ .

$(3 x - 7) (x^{2} - 25) = 0$

Passaggio 8.3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$(3 x - 7) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Passaggio 8.4

Scomponi.

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Passaggio 8.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$(3 x - 7) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Passaggio 8.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 10

Imposta $3 x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $3 x - 7$ uguale a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $3 x - 7 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 10.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 7$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 7$ e semplifica.

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Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 7$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Passaggio 11

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 11.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 12

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$ vera.

$x = \frac{7}{3}, - 5, 5$

Passaggio 14