Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Passaggio 4.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$27 - 3 \cdot 9 - 25 \cdot 3 + 75$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$27 - 27 - 25 \cdot 3 + 75$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 25$ per $3$ .

$27 - 27 - 75 + 75$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $27$ da $27$ .

$0 - 75 + 75$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $75$ da $0$ .

$- 75 + 75$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 75$ e $75$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75}{x - 3}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(3)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 3)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 25)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 25)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(- 75)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(75)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + 0 x - 25$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} - 25$

Passaggio 7

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$(x - 3) x^{2} - 5^{2}$

Passaggio 8

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$(x - 3) (x + 5) (x - 5)$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 9.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - 25 x + 75 = 0$

Passaggio 9.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x - 3) - 25 (x - 3) = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 25) = 0$

Passaggio 9.3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Passaggio 9.4

Scomponi.

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Passaggio 9.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$(x - 3) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Passaggio 9.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 11

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 11.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 12

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 12.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 13

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 13.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$ vera.

$x = 3, - 5, 5$

Passaggio 15