Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + x + 12$

Passaggio 1

Imposta $2 x^{3} - 9 x^{2} + x + 12$ uguale a $0$ .

$2 x^{3} - 9 x^{2} + x + 12 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $2 x^{3} - 9 x^{2} + x + 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$2 {(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} - 1 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot - 1 - 9 {(- 1)}^{2} - 1 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 - 9 {(- 1)}^{2} - 1 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 2 - 9 \cdot 1 - 1 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.5

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$- 2 - 9 - 1 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.6

Sottrai $9$ da $- 2$ .

$- 11 - 1 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.7

Sottrai $1$ da $- 11$ .

$- 12 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.8

Somma $- 12$ e $12$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + x + 12}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $2 x^{3} - 9 x^{2} + x + 12$ per $x + 1$ .

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Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$12$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 11 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 11 x^{2} - 11 x$

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$12 x$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	+	$12$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x + 12$

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$
										$0$

Passaggio 2.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} - 11 x + 12$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $2 x^{3} - 9 x^{2} + x + 12$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (2 x^{2} - 11 x + 12) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 12 = 24$ e la cui somma è $b = - 11$ .

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Passaggio 2.1.2.1.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 x$ .

$(x + 1) (2 x^{2} - 11 x + 12) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.1.2

Riscrivi $- 11$ come $- 3$ più $- 8$ .

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 3 - 8) x + 12) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 8 x + 12) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 3 x) - 8 x + 12) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) (x (2 x - 3) - 4 (2 x - 3)) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 3$ .

$(x + 1) ((2 x - 3) (x - 4)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (2 x - 3) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (2 x - 3) (x - 4) = 0$ vera.

$x = - 1, \frac{3}{2}, 4$

Passaggio 3