Precalcolo Esempi

$x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1 = 0$

Passaggio 1

Scomponi $x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1$

Passaggio 1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 5 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$1 - 5 + 5 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $5$ da $1$ .

$- 4 + 5 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 4 + 5 - 1$

Passaggio 1.3.7

Somma $- 4$ e $5$ .

$1 - 1$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1}{x - 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$ per $x - 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 1$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 4 x + 1$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4

Imposta $x^{2} - 4 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x^{2} - 4 x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x^{2} - 4 x + 1) = 0$ vera.

$x = 1, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 1, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Forma decimale:

$x = 1, 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$

Passaggio 7